含参目标函数把最优顶点当固定

线性规划的标准动作是平移目标直线：把 $z=ax+by$ 看成一族平行线，沿法向推过去，最后离开可行域的顶点给出最值。 这个动作有一个默认前提——那族线的斜率是已知的。目标函数一旦带参数，斜率就跟着参数变， 「最后离开的是哪个顶点」也跟着变。

于是就有了这个坑：画一张图，凭手感把最优顶点指出来，再据此列不等式。 图上画的只是参数取某一个值时的样子；换一个参数，最优顶点可能换人。

正确的判法：把顶点值当成参数的函数，先比大小

设可行域的顶点是 $P_1,\dots,P_k$，目标值 $f_i=f(P_i)$ 都是参数的一次函数。那么

这两个都是参数的分段线性函数，分段点就是两条直线 $f_i=f_j$ 的交点。 把 $f_i$ 两两作差、看差的符号在哪儿翻转，最优顶点在哪一段归谁就一清二楚了—— 这一步是可以算的，不需要看图。

算完再回头，你会发现自己得到的东西比”看图指定”多一块：不只知道这一段归谁，还知道分界在哪。

一个典型的翻车现场

可行域是 $A(1,0)$、$B(2,1)$、$C\left(1,\frac{3}{2}\right)$ 围成的三角形，目标 $f=ax+y$， 要求 $1\le f\le 4$ 在整块区域上恒成立。

有一份流传很广的解析这样开头：「由图分析可知，$a\ge 0$ 且在 $A(1,0)$ 点取得最小值，在 $B(2,1)$ 取得最大值」， 接着只写两条不等式 $a\ge1$、$2a+1\le4$，得 $a\in\left[1,\frac{3}{2}\right]$。

答案是对的，这两句话却是没有根据的。 三个顶点上的目标值是

两两作差：$f_B-f_A=a+1$，$f_C-f_A=\frac{3}{2}>0$，$f_B-f_C=a-\frac{1}{2}$。于是

• 最小值：$a>-1$ 时在 $A$，$a<-1$ 时在 $B$；
• 最大值：$a>\frac{1}{2}$ 时在 $B$，$a<\frac{1}{2}$ 时在 $C$。

最大值点在 $a=\frac{1}{2}$ 处换人，而那份解析在还不知道 $a$ 的时候就把 $B$ 钉死了。 它蒙对，是因为最后解出的 $\left[1,\frac{3}{2}\right]$ 恰好整段落在 $a>\frac{1}{2}$ 里—— 这是事后才知道的事，不能拿来当事前的理由。

稳妥的写法

不想讨论就别讨论：把每个顶点都代进去，每个顶点给一条（组）不等式，最后取交集。 顶点个数一般只有三四个，多写两行换掉一整段讨论，考场上很划算； 而且这么写是充要的——线性函数在凸多边形上的值恰是顶点值的加权平均，顶点全落在 $[m,M]$ 里，整块区域就都落在里面。

要讨论，就把讨论写完整：先比顶点值定出最优顶点随参数的分段，再在每一段里解不等式，最后并起来。 「由图分析可知」这五个字后面跟着的若是一个与参数有关的判断，那就是漏了一步。