套路

累乘法

由 bn+1bn=f(n)\dfrac{b_{n+1}}{b_n}=f(n) 把相邻两项的比从 11 一路乘到 n−1n-1，中间项全部约掉，只剩 bnb1=∏f(k)\dfrac{b_n}{b_1}=\prod f(k)。

解题套路

已知相邻两项的比（而不是项本身）：

b2b1=f(1),b3b2=f(2),…,bnbn−1=f(n−1)\frac{b_2}{b_1}=f(1),\quad \frac{b_3}{b_2}=f(2),\quad \dots,\quad \frac{b_n}{b_{n-1}}=f(n-1)

全部相乘，左边中间项两两约掉（望远镜乘积），得

bnb1=∏k=1n−1f(k).\frac{b_n}{b_1}=\prod_{k=1}^{n-1}f(k) .

于是「求通项」变成「求一个乘积」。ff 是常数时就是等比数列；ff 是两个下标错开的项之比时， 乘积会大面积对消——这是它比累加法更常出彩的地方。

错位比：最值钱的那一类

若 f(k)=ukuk+mf(k)=\dfrac{u_k}{u_{k+m}}（分子分母是同一个数列错开 mm 位），则

∏k=1n−1ukuk+m=u1u2⋯umunun+1⋯un+m−1,\prod_{k=1}^{n-1}\frac{u_k}{u_{k+m}} =\frac{u_1u_2\cdots u_{m}}{u_{n}u_{n+1}\cdots u_{n+m-1}} ,

分子只剩最前面 mm 项、分母只剩最后面 mm 项。m=2m=2 时就是

bnb1=∏k=1n−1ukuk+2=u1u2unun+1.\frac{b_n}{b_1}=\prod_{k=1}^{n-1}\frac{u_k}{u_{k+2}}=\frac{u_1u_2}{u_nu_{n+1}} .

很多题里「先证某个乘积是常数列」的那一步，本质就是这个式子——常数列是累乘的结果，不是灵感。

三条容易翻车的地方

  • 项数数错：从 b1b_1 乘到 bnb_n 用的是 n−1n-1 个比，不是 nn 个。
  • 分母为零没交代：写下 bn+1bn\dfrac{b_{n+1}}{b_n} 之前必须先说明 bn≠0b_n\neq0；等比数列的项恒不为零， 等差数列可不一定（要靠首项与公差的符号排除）。
  • 忘了乘回 b1b_1：累乘给的是 bnb1\dfrac{b_n}{b_1}，不是 bnb_n；结论还要回代 n=1n=1 验一次。

学它之前先会

共 2 条前置、最深 2 层。

出现在以下题目中

共 2 道题考到本条。