套路

较大者写成半和加半差

max⁡{p,q}=p+q2+∣p−q∣2\max\{p,q\}=\dfrac{p+q}{2}+\dfrac{|p-q|}{2}（相应地 min⁡{p,q}=p+q2−∣p−q∣2\min\{p,q\}=\dfrac{p+q}{2}-\dfrac{|p-q|}{2}）。把「两个数取大」换成一个**不带分段**的式子，分类讨论就地消失。

那条恒等式

max⁡{p,q}=p+q2+∣p−q∣2,min⁡{p,q}=p+q2−∣p−q∣2.\max\{p,q\}=\frac{p+q}{2}+\frac{|p-q|}{2},\qquad \min\{p,q\}=\frac{p+q}{2}-\frac{|p-q|}{2} .

验证只要两句：p⩾qp\geqslant q 时 ∣p−q∣=p−q|p-q|=p-q，右边 =p+q2+p−q2=p=\dfrac{p+q}{2}+\dfrac{p-q}{2}=p； p<qp<q 时 ∣p−q∣=q−p|p-q|=q-p，右边 =q=q。

它是绝对值化为两支取大（∣u∣=max⁡{u,−u}|u|=\max\{u,-u\}）的反向： 那一条把绝对值拆成取大，这一条把取大凑成绝对值。

什么时候用

答案里出现绝对值、而过程里出现「取大」时，多半就是它。

  • 求出 fmax⁡=max⁡{f(0),f(1)}f_{\max}=\max\{f(0),f(1)\}，题目却要你证明 fmax⁡f_{\max} 等于某个含绝对值的式子—— 直接套公式，不必按参数分两类各写一遍。
  • 分段函数 max⁡{g1,g2}\max\{g_{1},g_{2}\} 要求导、要积分、要画图时，先合成一个式子往往更好处理。
  • 反过来，看到 p+q2+∣p−q∣2\dfrac{p+q}{2}+\dfrac{|p-q|}{2} 这种形状，立刻读成「pp 与 qq 的较大者」。

一个样本

f(x)=4ax3−2bx−a+bf(x)=4ax^{3}-2bx-a+b 在 [0,1][0,1] 上的最大值是 max⁡{f(0),f(1)}=max⁡{−a+b, 3a−b}\max\{f(0),f(1)\}=\max\{-a+b,\ 3a-b\}。 套公式：半和 =(−a+b)+(3a−b)2=a=\dfrac{(-a+b)+(3a-b)}{2}=a，半差 =∣(−a+b)−(3a−b)∣2=∣−4a+2b∣2=∣2a−b∣=\dfrac{|(-a+b)-(3a-b)|}{2}=\dfrac{|{-4a+2b}|}{2}=|2a-b|， 于是

fmax⁡=∣2a−b∣+a.f_{\max}=|2a-b|+a .

一行，而按 b⩽2ab\leqslant2a 与 b>2ab>2a 分两类写，要写四行还容易把边界的等号放错。

常见失手

  • 三个数以上不能直接套。max⁡{p,q,r}\max\{p,q,r\} 得先合并两个再和第三个合并，式子会套两层绝对值， 多半不如老实分类。
  • 半差里的绝对值别丢。p+q2+p−q2\dfrac{p+q}{2}+\dfrac{p-q}{2} 恒等于 pp，那是写漏了绝对值，不是取大。
  • 只在需要”消掉分段”时才用。若后面正要按 pp、qq 谁大分类，硬凑成绝对值反而多绕一圈。

出现在以下题目中

共 1 道题考到本条。