绝对值化为两支取大

那一步改写

于是

右边两支都是 $t$ 的一次函数：一条斜率 $+1$、一条斜率 $-1$，关于直线 $t=a$ 互为镜像。 原来那个带绝对值的 V 形，就是这两条直线里较高的那一条。

为什么值得这么写

最大值的位置一眼就定了。 一次函数在闭区间上的最值必在端点； 若干个一次函数取最大，得到的仍是凸函数，凸函数在闭区间上的最大值也必在端点。所以

——不必讨论 $a$ 落在区间的哪一边。按定义分段讨论（$a<m$ / $m\le a\le M$ / $a>M$）当然也对， 但那是三类，这里是两个数比大小。

用在哪儿

• 含参绝对值函数在闭区间上的最值 / 值域；
• 「最大值等于某个数，求参数范围」——把最大值写成 $\max(\cdot,\cdot)$，条件立刻变成两个不等式；
• 多个绝对值相加（$|x-1|+|x-3|$ 这类）同样是分段线性的凸函数，最大值仍在端点，最小值则可能在折点上。

两处当心

• 最大值在端点，最小值不一定。 凸函数的最小值可能落在折点 $t=a$ 处（这里的最小值就是 $a$， 当 $a\in[m,M]$ 时取到）。这一条只能用来找最大值。
• 区间必须是闭的、有界的。 端点开或区间无界时「最值在端点」就不成立，只能谈上确界。