先粗后精的两次放缩

为什么要放两次

数列递推里，每一步的增量往往长成 $\dfrac{1}{c-a_n}$、$\dfrac{a_n}{1+a_n}$ 这种还含着 $a_n$ 的样子——想累加，得先把 $a_n$ 换掉。可 $a_n$ 正是要求的东西，死循环。

破法是分两步走：

1. 第一次（粗）：只用最省事的界（如 $0<a_n\le a_1$）把增量夹住，累加，得到 $a_n$ 的一个粗糙但白送的界；
2. 第二次（精）：把这个粗界回代进增量表达式，增量的界立刻紧了一大截，再累加一次，得到能用的结论。

第一次的界不必好，够把 $a_n$ 从表达式里赶走就行。

解题套路

以 $\dfrac{1}{a_{n+1}}-\dfrac{1}{a_n}=\dfrac{1}{c-a_n}$ 为例：

1. 由 $a_n>0$ 得 $\dfrac{1}{c-a_n}>\dfrac1c$，累加得 $\dfrac{1}{a_n}>\dfrac1{a_1}+\dfrac{n-1}{c}$，即 $a_n$ 的粗上界；
2. 把这个上界代回 $\dfrac{1}{c-a_n}$ 的分母：$a_n$ 小 ⟹ $c-a_n$ 大 ⟹ 增量小，于是得到 $\dfrac{1}{c-a_n}<\dfrac1c+(\text{一个能求和的小量})$；
3. 再累加一次，得 $\dfrac{1}{a_n}$ 的上界，取倒数即 $a_n$ 的下界。

两次累加分别给出上界和下界，两头一夹，答案就定了。

两条要盯住的

• 回代的界必须先证出来，而且要注意它成立的起始下标（第一次的界常常只从 $n\ge2$ 起成立），前面那一两项要单独处理。
• 方向别搞混：$a_n$ 的上界回代进分母，得到的是增量的上界；要另一侧的界就得用 $a_n$ 的下界。每次都问一句「这个界是让分母变大还是变小」。

什么时候还得放第三次

第二次的界仍然够不着目标时，可以把第二次的结果再回代一轮。但每多放一次，式子就复杂一截——高考题基本停在两次；如果两次还不够，多半是某一步放得太狠了（见易错点放缩过头）。