卡上界再造例子

解题套路

问「最多」「最少」「最大值」的题，答案是一个数 $M$。要把 $M$ 钉死，必须有两句独立的话：

1. 上界：证明任何情形下都 $\leqslant M$。这一句管「不能更大」。
2. 例子：造出一个具体情形，使得它正好等于 $M$。这一句管「真能到」。

只有上界，答案可能偏大（也许 $M-1$ 才是真最大）；只有例子，答案可能偏小（也许还能造出更大的）。两句缺一，写出来的数都只是猜的。

三步做法：

1. 先跑几个例子找感觉，把能造出来的最大值记成 $M$。这一步给出候选答案，同时手里已经攒下了那个例子。
2. 回头找约束，把「为什么不能更大」写成一个不等式。常见的抓手：某个恒等式（面积、周长、总和）把几个量绑在一起；某种计数上限（一条直线最多与圆交两点、$n$ 个元素最多分成 $n$ 组）；某个单调性或有界性。
3. 两头对上：上界证出来的数若正好是第 1 步造出来的 $M$，收工；若上界比 $M$ 大，要么例子没造到位，要么约束没找全——回到第 1 或第 2 步，别直接把上界当答案。

选择题上的省力版：四个选项本身就是候选。造一个例子把某个选项取到，就能刷掉所有比它小的；再证一句「不能更大」，就能刷掉所有比它大的。两下之后只剩一个。

什么时候特别要当心

• 上界用的是放缩：放缩得太松，上界就取不到，此时必须回头收紧，而不是宣布答案。
• 例子造在边界上：端点、相切、退化的位置常常正好不满足题目的某个「严格」要求（开区间、不共线、互异），造完要逐条回验。
• 题目问的是「最多能有几个」而选项都挨着（$4,5,6,7$）：这种题的分差全在两句话的其中一句上，两句都写才安全。