翻折重合化成到两点等距

解题套路

题面说「沿直线 $\ell$ 把某块图形折上去，使点 $Q$ 与点 $P$ 重合」。这句话只有一个数学内容：

理由是绕 $\ell$ 旋转保持每个点到 $\ell$ 上任意一点的距离——$X$ 在轴上没动，$Q$ 转到了 $P$， 所以折前的 $|XQ|$ 就是折后的 $|XP|$。反过来，若 $\ell$ 上有两个点到 $P$、$Q$ 等距， $\ell$ 就落在线段 $PQ$ 的中垂面里，绕 $\ell$ 转确实能把 $Q$ 送到 $P$。

用它的三步：

1. 把折痕的两个端点设成未知数。折痕总是被题目限制在两条边上，各设一个参数 （常常只有一个真正独立，另一个由「折痕是直线」自动跟着定）。
2. 每个端点写一个等距方程：$|XQ|^{2}=|XP|^{2}$。两边都是平方，展开后二次项自动抵消， 剩下的是一次方程，一步就解得出来。
3. 检验解出的点确实在线段上。中垂面与两条直线总有交点，与两条线段却未必—— 落在线段外就说明这样的折法不存在。

为什么比「摆出折后的立体图再算」省事

折上去之后那一块的姿态（转了多少度）是个多余的未知量：题目并不问它，而「重合」这句话已经把它定死了。 直接写等距方程，等于把这个多余的自由度一次消掉——全程只在折前的那张平面图和已经钉住的那几个点里算， 一条辅助线都不用作。

自检

• 等距的是「折痕上的点」到两点，不是那两点到别处。轴上的点才不动。
• 两个方程都要写。只写一个端点，解出来的是「某条直线」，不是折痕。
• 中垂面这个说法就是 $|XP|=|XQ|$ 的几何版：空间里到两个定点等距的点构成的集合， 是线段 $PQ$ 的垂直平分面。折痕必须整条落在这个面里。