把定点挪到原点再换元

套路说明

什么时候用：结论只关心相对位置（谁在谁左边、两段长度之比、能不能排成等差、 是否关于某点对称），而题面里偏偏摆着一个与结论无关的常数 $a$。

怎么做：令 $u=x-a$。于是

• 原来的定点 $x=a$ 变成 $u=0$；
• 任何「差」都不变：$x_{2}-x_{1}=u_{2}-u_{1}$；
• 任何「比」都不变：$\dfrac{x_{2}-a}{a-x_{1}}=\dfrac{u_{2}}{-u_{1}}$；
• 含参的式子 $F(x)$ 变成 $F(a+u)$，展开后 $a$ 多半只以某个组合出现（比如 $a+b$），未知量随之少一个。

为什么值得先做

不换元也做得完，代价是每一步都拖着 $a$：韦达的和是 $a-b-3$、根是 $\dfrac{(a-b-3)\pm\sqrt{\cdots}}{2}$、条件是 $x_{2}-a=2(a-x_{1})$…… 每一行都要把 $a$ 搬一次，而它从头到尾没起作用。换元把这份搬运量一次付清。

判断「该不该换」只要问一句：把 $x$ 整体加一个常数，题目的答案会跟着平移吗？ 会，就说明 $a$ 只是位置、不是形状，可以先挪走。

自检

• 换完记得把结论换回去：$u_{4}$ 是答案的一半，$x_{4}=a+u_{4}$ 才是。
• 换元不改变正负与大小顺序（平移是保序的），所以「$p>0$」这类条件可以直接在 $u$ 里验。
• 若结论关心的是绝对位置（比如「零点是否落在 $[0,1]$ 上」），那就不能随便挪—— 这条套路只对「相对位置」的结论安全。