对称分布的期望落在对称中心

解题套路

设随机变量 $X$ 与 $c-X$ 同分布（即对每个 $t$ 都有 $P(X=t)=P(c-X=t)$）。同分布的两个随机变量期望相同，故

两行，用到的只有「同分布 $\Rightarrow$ 同期望」与期望的线性性。

怎么认出「与 $c-X$ 同分布」。 常见的有三种面相，认准一个就够：

1. 分布列左右对称：把 $P(X=x_i)$ 排成一行，首尾一样、次首次尾一样……对称中心就是那个 $\frac{c}{2}$。 （列都列出来了当然也能逐项乘，但常常是还没列就已经看得出对称。）
2. 两类东西一样多：从 $k$ 个甲与 $k$ 个乙中取 $n$ 个，$X$ 记取到的甲的个数。 把「甲」「乙」两个标签对调，每一种取法都对应唯一一种取法，概率不变，而 $X$ 变成了 $n-X$。 故 $X$ 与 $n-X$ 同分布，$EX=\frac{n}{2}$。
3. 对称的试验规则：正反面等可能的硬币抛 $n$ 次记正面数；$1\sim 2k$ 里随机取一个数； 一条线段上随机取点记到左端的距离……凡是「把规则里的两头互换后，试验完全一样」的，都属此类。

为什么值得单列一条

它不是「少算几步」，是把结论从『算出来的』变成『看出来的』：对称性是结构， 不依赖具体的概率值。于是

• 概率值算错了也不影响期望（对称只要求首尾相等，不要求它们等于多少）；
• 分布列很长（取值有七八个）时，逐项乘极易出错，而对称一眼可查；
• 题目若只问期望、不问分布列，这条路可以完全绕开组合数。

用错的两种方式

1. 把「左右两半概率各占一半」当成对称。 对称要求的是逐项相等（$P(X=x_i)=P(X=c-x_i)$）， 不是「小于中心的总概率 $=\frac12$」。后者只能推出中位数是 $\frac{c}{2}$，推不出期望。 例：$X$ 取 $0,1,3$ 的概率分别是 $\frac12,\frac14,\frac14$，中位数是 $\frac12$ 那一侧的事， 而 $EX=\frac12\cdot 0+\frac14\cdot 1+\frac14\cdot 3=1\neq\frac32$。
2. 两类东西不一样多时硬套。 上面第 2 种面相里，甲乙个数必须相等； $k$ 个甲、$l$ 个乙且 $k\neq l$ 时对调标签会改变概率，$X$ 与 $n-X$ 不同分布 （此时期望是超几何分布的 $E X=n\cdot\frac{k}{k+l}$，一般不等于 $\frac n2$）。