全部化到一组基上

解题套路

1. 挑基：挑两个不共线、而且让别的向量表出来最省事的向量。图形里优先挑同一个顶点出发的两条边——正方形、平行四边形、三角形都是这样，其余的边与对角线都能一步表出。基正交且等长时后面算模最省事。

2. 列一张对照表，把每个向量都换成基的组合。正方形 $ABCD$ 以 $\vec e_1=\overrightarrow{AB}$、$\vec e_2=\overrightarrow{AD}$ 为基：

   向量	用基表示
   $\overrightarrow{BC}$	$\vec e_2$
   $\overrightarrow{CD}$	$-\vec e_1$
   $\overrightarrow{DA}$	$-\vec e_2$
   $\overrightarrow{AC}$	$\vec e_1+\vec e_2$
   $\overrightarrow{BD}$	$\vec e_2-\vec e_1$

   表列完，题目里就再没有向量了。

3. 合并同类项，把目标写成 $x\vec e_1+y\vec e_2$ 的形式，$x$、$y$ 是题目参数的表达式。

4. 算模就平方：$\left\lvert x\vec e_1+y\vec e_2\right\rvert^{2}=x^{2}\lvert\vec e_1\rvert^{2}+2xy\,\vec e_1\cdot\vec e_2+y^{2}\lvert\vec e_2\rvert^{2}$。基正交且是单位向量时它就是 $x^{2}+y^{2}$。

与建系坐标化的关系

这是同一件事的两种写法：取正交单位基，就等于建了直角坐标系，$(x,y)$ 就是坐标。区别只在

• 基向量法不必写出点的坐标，图形不规则（基不正交）时照样能用，只是要留着交叉项；
• 坐标化在基天然正交时更顺手，而且可以调用现成的坐标公式（模、夹角、点到直线距离）。

正方形、矩形这类题两条路完全等价，选熟的那条；平行四边形、正三角形里基不正交，基向量法往往比硬建系短。

常见失手

• 基选了共线的两个向量（比如 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{CD}$，它们在正方形里是相反向量），表不出整个平面。
• 对照表里符号搞反：$\overrightarrow{DA}=-\overrightarrow{AD}$、$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$，方向反一次结果全错。表列出来逐条核，比在心里换算稳。
• 忘了交叉项：只有基正交时 $\lvert x\vec e_1+y\vec e_2\rvert^{2}$ 才等于 $x^{2}+y^{2}$。