定角对定弦定出一段圆弧

解题套路

1. 先认出「定角 + 它的对边定长」这一对。 题面给的常常不长这样，要翻译：

   • 「$\angle ACB=60^\circ$，$AB=2$」——明给；
   • 「$\alpha$ 与 $\beta-\alpha$ 的夹角是 $120^\circ$，$|\beta|=1$」——把三条向量摆成三角形， 内角是夹角的补角，对边是 $|\beta|$；
   • 「$\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=0$，$AB$ 定长」——直角也是定角。

2. 一步写出那个圆有多大。 正弦定理的完整形态直接给直径：

   $$2R=\frac{\text{定弦}}{\sin\text{定角}} .$$

   （用的是定角的正弦——所以定角取 $\theta$ 还是 $180^\circ-\theta$，圆一样大， 差别只在顶点落在优弧还是劣弧上。）

3. 把顶点的活动范围画成弧，两端按题意挖。 定弦的两个端点本身不在活动范围内 （三点共线就不成三角形了），所以那是一段开弧；题面另有限制（某个角是锐角、某条边有长度限制） 再往里裁。

4. 所求的量翻译成这个圆上的量，范围就出来了：

   • 顶点到定弦某端的距离 $=$ 圆的一条弦 $\Rightarrow$ 最大值是直径 $2R$， 在「那条弦过圆心」即顶点跑到该端点的对径点时取到；
   • 顶点到定弦的距离 $=$ 顶点的「高」 $\Rightarrow$ 最大值是弧的中点处，等于 $R+\sqrt{R^2-(\text{半弦})^2}$（优弧）；
   • 三角形面积 $=\frac12\times$ 定弦 $\times$ 高，跟着上一条走。

一个标准场景

$\triangle OAB$ 中 $\angle OAB=60^\circ$、$|OB|=1$，问 $|OA|$ 的取值范围。

• $2R=\dfrac{1}{\sin 60^\circ}=\dfrac{2\sqrt3}{3}$，$A$ 在以 $OB$ 为弦、对应圆周角 $60^\circ$ 的那段优弧上（挖掉两端）；
• $|OA|$ 是这个圆的弦，故 $|OA|\leqslant 2R=\dfrac{2\sqrt3}{3}$；
• 等号取得到吗？ 取到等号要求 $OA$ 过圆心，即 $A$ 是 $O$ 的对径点。 那个点在不在这段开弧上？在——它与 $O$、$B$ 都不重合（此时 $\angle OBA=90^\circ$，三点不共线）。 所以最大值真的是 $\dfrac{2\sqrt3}{3}$；
• 另一端：$A$ 沿弧趋向 $O$ 时 $|OA|\to 0$ 但取不到，故范围是 $\left(0,\dfrac{2\sqrt3}{3}\right]$。

为什么值得当成一条套路

「角定了、对边也定了」这一对条件，代数上只把两个量锁死，几何上却把整个自由度画成了一条曲线。 一旦画出那条弧，「某个量的最值」就从「求函数的最值」退化成「看一眼图」： 弦最长是直径、高最大在弧顶——都是初中就会的结论，不必设变量、不必求导、不必讨论。

它与正弦定理的关系也值得记清楚：教材写 $\dfrac{a}{\sin A}=2R$ 时， 那个 $2R$ 常被当成一个「顺带提一句」的量；这条套路正是把 $2R$ 当主角用。

常见失手

• 优弧劣弧认反：定角是锐角，顶点在优弧（大的那段）上；钝角才在劣弧上。 判据：圆周角 $<90^\circ$ $\Leftrightarrow$ 所对的弧是劣弧 $\Leftrightarrow$ 顶点在另一段（优弧）上。
• 端点忘了挖：顶点跑到定弦的端点时三角形退化，那两个位置一律不算， 于是所求量的范围多半带一个开端点。
• 等号没回验：写出「$\leqslant 2R$」之后必须问一句「取等的那个位置在不在这段弧上」， 在优弧上取等没问题，裁过的弧上就未必（易错点「不等式求最值漏验等号」）。