同底两个等腰三角形比顶角

套路说明

设 $\triangle PMN$ 与 $\triangle QMN$ 共用底边 $MN$，且两者都是等腰的：$PM=PN$、$QM=QN$。 记 $MN=2\ell$，则从顶点向底边作的高同时是中线，于是

两个半顶角都落在 $\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right]$ 里，而正弦在这个区间上递增，所以

腰越短，顶角越大；等号只在两条腰相等时取到。

什么时候想到它

• 题里出现一条线段的两个端点到某条直线上各点的距离——直线上每个点都是一个「顶点」，它们与那条线段各配一个等腰三角形。翻折题里的折痕就是这样一条直线：折痕上任一点到 $A$ 与到 $A'$ 等距。
• 要比的两个角看起来在不同的平面里，直接作不出公共的参照。共底这条路不需要它们共面：只要底边是同一条，比较就成立。

用起来的两个提醒

• 先确认「共底」：两个三角形的底必须是同一条线段（同两个端点），不是「一样长」。
• 腰长的比较要有依据：常见的依据是垂线段最短——从一点向一条直线引垂线段与斜线段，垂线段最短，故垂足给出的那个顶角最大。