套路

不建系的基底向量法

不铺坐标系，直接取三条不共面的棱作基底，把要用的向量全写成它们的线性组合；只要三条棱两两之间的长度与夹角（也就是三个内积）已知，点积、模长、夹角就全能算——底面是菱形、正三角形这类"不方便建系"的图形上最省事。

解题套路

  1. 选基底：取三条从同一点出发、不共面的向量 e⃗1,e⃗2,e⃗3\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3， 通常就是题目给的三条棱。
  2. 列内积表：把 ∣e⃗i∣2|\vec e_i|^{2} 与 e⃗i⋅e⃗j\vec e_i\cdot\vec e_j 全部算出来（共六个数）。 有一条棱垂直于另外两条时，表里立刻有四个零。
  3. 表出：把要用的每一个向量写成 xe⃗1+ye⃗2+ze⃗3x\vec e_1+y\vec e_2+z\vec e_3。 中点取 12\frac12，定比分点按比例，垂足由”点积为零”解出。
  4. 算：点积按分配律展开，代内积表；模长是 u⃗⋅u⃗\sqrt{\vec u\cdot\vec u}， 夹角是 u⃗⋅v⃗∣u⃗∣∣v⃗∣\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{|\vec u||\vec v|}。

全程不需要坐标，也不需要正交。

什么时候比建系强

  • 底面不是矩形（菱形、正三角形、一般平行四边形）。建系要先算出各顶点坐标， 常常带一堆 3\sqrt{3}；基底法只需要一个 e⃗1⋅e⃗2=∣e⃗1∣∣e⃗2∣cos⁡θ\vec e_1\cdot\vec e_2=|\vec e_1||\vec e_2|\cos\theta。
  • 只问一两个量（一个夹角、一段长度）。为一个量铺一整套坐标不划算。
  • 图形还没定死（含参、动点）。基底法把参数留在系数里，不必重算坐标。

反过来，要同时求好几个法向量、或者要判断很多组垂直平行时，建系更整齐。

用起来长什么样

四棱锥 P-ABCDP\text{-}ABCD，底面菱形边长 ss、∠BAD=120∘\angle BAD=120^\circ，PA⊥PA\perp 底面、PA=hPA=h。 取 {AB⃗,AD⃗,AP⃗}\{\vec{AB},\vec{AD},\vec{AP}\}，内积表是

∣AB⃗∣2=∣AD⃗∣2=s2,AB⃗⋅AD⃗=s2cos⁡120∘=−s22,AP⃗⋅AB⃗=AP⃗⋅AD⃗=0,∣AP⃗∣2=h2.|\vec{AB}|^{2}=|\vec{AD}|^{2}=s^{2},\quad \vec{AB}\cdot\vec{AD}=s^{2}\cos120^\circ=-\frac{s^{2}}{2},\quad \vec{AP}\cdot\vec{AB}=\vec{AP}\cdot\vec{AD}=0,\quad |\vec{AP}|^{2}=h^{2} .

于是 AC⃗=AB⃗+AD⃗\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{AD} 满足 ∣AC⃗∣2=2s2−s2=s2|\vec{AC}|^{2}=2s^{2}-s^{2}=s^{2}， BD⃗=AD⃗−AB⃗\vec{BD}=\vec{AD}-\vec{AB} 满足 BD⃗⋅AC⃗=∣AD⃗∣2−∣AB⃗∣2=0\vec{BD}\cdot\vec{AC}=|\vec{AD}|^{2}-|\vec{AB}|^{2}=0 ——菱形对角线互相垂直，一行就出来了，而且 BD⃗⋅AP⃗=0\vec{BD}\cdot\vec{AP}=0， 所以 BD⃗\vec{BD} 与 AC⃗\vec{AC}、AP⃗\vec{AP} 张成的整个平面都垂直。

常见失手

  1. 基底共面。 三条向量必须不共面，否则表示不唯一，后面全乱。 取棱时先确认它们从同一点出发且不在同一张平面里。
  2. 内积表算错一格。 夹角是两向量的夹角，不是图上那个角的补角—— AB⃗\vec{AB} 与 AD⃗\vec{AD} 的夹角是 ∠BAD\angle BAD 本身（都从 AA 出发）， 但 BA⃗\vec{BA} 与 AD⃗\vec{AD} 的夹角是它的补角。
  3. 把系数当坐标去套公式。 基底不正交时， u⃗⋅v⃗≠x1x2+y1y2+z1z2\vec u\cdot\vec v\neq x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2，必须老实展开。
  4. 忘了写”{e⃗1,e⃗2,e⃗3}\{\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3\} 是一组基底”这句话。 阅卷要看到这一步。

学它之前先会

共 1 条前置、最深 1 层。

出现在以下题目中

共 2 道题考到本条。