套路

平行投影保长

把一条线段正投影到与它平行的直线上，长度不变——投影前后差一个平移。于是「求某段在某直线上的影子」可以直接换成「量那一段本身」。

套路说明

  • 什么时候用：题目要「某图形在直线 ll 上的投影（影子）有多长」，而图形的某条边恰好与 ll 平行。
  • 凭什么：设线段 PQ∥lPQ\parallel l。作 PP、QQ 到 ll 的垂线，垂足为 P′P'、Q′Q'。 PP′⊥lPP'\perp l、QQ′⊥lQQ'\perp l，所以 PP′∥QQ′PP'\parallel QQ'；又 PQ∥P′Q′PQ\parallel P'Q'， 于是 PQQ′P′PQQ'P' 是平行四边形，∣P′Q′∣=∣PQ∣|P'Q'|=|PQ|。投影只是把这条线段平移到了 ll 上。
  • 怎么用：认平行只看法向量（或斜率）。ax+by+c1=0ax+by+c_1=0 与 ax+by+c2=0ax+by+c_2=0 法向都是 (a,b)(a,b)， 一定平行；常数项差多少都不影响。
  • 还差一步：整个图形的影子未必只由这一条边贡献。必须再验其余的点投影后落在这一段之内， 否则影子会比它长。凸多边形只需验其余顶点。

注意

  • 平行才保长。不平行时投影会缩短：与 ll 成 θ\theta 角的线段，影子长 ∣PQ∣cos⁡θ|PQ|\cos\theta。
  • 与「点到直线的距离」不是一回事：距离量的是垂线段的长，这里量的是垂足之间的长。
  • 反过来也常用：要让影子最长，就把线段转到与 ll 平行的方向。

出现在以下题目中

共 1 道题考到本条。