路套路夹在两条水平线之间先看极差
要 −r≤g(x)+b≤r 在区间上恒成立，先看 g 的极差 M−m：极差 >2r 时怎么上下平移都塞不进去；极差 ≤2r 时，可行的 b 恰好填满一个长度为 2r−(M−m) 的闭区间。
解题套路
设 g 在区间 I 上有最大值 M、最小值 m，记极差 R=M−m；另给一个可以自由选的常数 b。则
−r≤g(x)+b≤r 对一切 x∈I⟺m+b≥−r 且 M+b≤r⟺−r−m≤b≤r−M.
这个 b 的区间非空当且仅当 −r−m≤r−M，即
M−m≤2r
所以整件事分成互不干扰的两层：
- 先看极差（这一层完全不含 b）。R>2r 时，函数自己的高低落差就超过了带子的宽度，
无论怎么上下搬都塞不进去，直接出局。
- 再定平移量。R≤2r 时，可行的 b 填满闭区间 [−r−m, r−M]，长度恰是 2r−R。
R=2r 时它退化成一个点——带子刚好卡死，b 没有余地。
为什么值得单独记
- 第一层不含 b，所以含参问题里另一个参数往往一步就筛干净：先求出 M−m 关于那个参数的表达式，
解一个不等式 M−m≤2r 就完事，不必对每个情形都把 b 拉进来。
- 第二层给出的是区间，不是一个数。 题目若接着问 b（或 3a+b 这类含 b 的式子）的取值范围，
答案是把这一族区间对另一个参数取并——只代两个端点常常会漏掉中间，或者反过来多出一截。
- 反过来读也成立：「g+b 的图象能被两条相距 2r 的水平线夹住」这句几何话，
和「M−m≤2r」是同一件事。带宽是极差的上界，仅此而已。
自检
写完 b 的区间就回头看它是否非空；非空条件化简出来应当只关于另一个参数。
若化简完还带着 b，那是把两层混在一起了。