二次型配方后三角换元

解题套路

约束是「两样东西的平方和等于 $1$」时，它就是一个圆——可以整段换成一个角。 含交叉项的二次型先配方：把其中一个变量看成主元，凑出完全平方，

只要 $C>0$ 且 $A-\dfrac{B^{2}}{4C}>0$（即 $B^{2}-4AC<0$，约束是椭圆），两个系数都是正的， 约束就成了 $u^{2}+v^{2}=1$ 的形状，于是令

反解出 $x,y$，代进要求的式子，两个变量就并成了一个角的三角式。

接着一定是辅助角

代完之后目标式长这样：

振幅 $\sqrt{m^{2}+n^{2}}$ 就是答案——最大值 $\sqrt{m^{2}+n^{2}}$、最小值 $-\sqrt{m^{2}+n^{2}}$， 连取等点都不用算（要报点时再由 $\varphi+\varphi_{0}=\dfrac{\pi}{2}$ 回推）。

两处要交代

• 换元是一一对应的。每组满足约束的 $(x,y)$ 恰对应一个 $\varphi$，反之亦然； 所以 $\varphi$ 能跑遍一整圈，$\sin(\varphi+\varphi_{0})$ 才取得到 $\pm 1$。 若题目额外限制了 $x$ 或 $y$ 的范围，$\varphi$ 就只剩一段，振幅未必取得到 （见换元后漏掉新变量的取值范围）。
• 约束带一次项时先平移。$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey=F$ 先把中心移到原点（对 $x,y$ 各配一次方）， 再走上面的流程；这也是这条路比判别式法更耐造的地方。