正数比大小先平方

解题套路

1. 先确认两边都是正的：$u>0$、$v>0$。这一步不能省——负数平方会把大小翻过来。
2. 平方：在正数上 $t\mapsto t^{2}$ 严格递增，所以 $u>v\iff u^{2}>v^{2}$，$u>1\iff u^{2}>1$。
3. 在平方后的世界里算：根号没了，乘积变成各自平方的乘积，通常能直接通分、约掉、配成「$1+$ 正数」的样子。
4. 回读结论：平方后的不等号原样搬回去。

什么时候特别划算

• 要比的是一堆根式的乘积或商（离心率之积、距离之积、$\sqrt{a}\pm\sqrt{b}$ 型），平方后根号成片消失。
• 目标是和 $1$ 比：$u^{2}=1+(\text{某个显然为正的量})$ 这一形状一出现，结论就到手了，不必估数值。

反例提醒

$-3<2$，但 $(-3)^{2}>2^{2}$。第 1 步的正性检查是这个套路唯一的门槛，漏了就整条路作废。