齐次化构造斜率方程

解题套路

设曲线上有定点 $P$，动直线交曲线于 $A$、$B$，要处理的是 $k_{PA}$、$k_{PB}$（之和、之积、之比）。

1. 平移：换坐标 $X=x-x_P$、$Y=y-y_P$，把 $P$ 挪到原点。曲线方程里的常数项会消失（$P$ 在曲线上），只剩二次项与一次项。
2. 把动直线写成「$=1$」：动直线 $AB$ 在新坐标下整理成 $\lambda X+\mu Y=1$。
3. 齐次化：用 $1=\lambda X+\mu Y$ 去乘曲线方程里的一次项，整个方程就变成关于 $X,Y$ 的二次齐次式

4. 除以 $X^{2}$：记 $m=\dfrac YX$（这正是原点到该点的连线斜率），得 $\gamma m^{2}+\beta m+\alpha=0$。 它的两根就是 $k_{PA}$ 与 $k_{PB}$，于是

为什么两根就是那两个斜率

第 3 步得到的齐次式对 $A$、$B$ 都成立（它们既在曲线上、又在直线上，两个条件都用到了），而 二次齐次式表示的是过原点的两条直线——它只能是 $PA$ 与 $PB$ 这一对。除以 $X^{2}$ 就是把「两条 直线」翻译成「两个斜率」。

它比联立强在哪

联立求出的是 $x_1+x_2$、$x_1x_2$；要的是斜率时还得把 $k_{PA}=\dfrac{y_1-y_P}{x_1-x_P}$ 通分对称化， 既长又容易错。齐次化一步直达斜率的和与积。所以判断该不该用它，就看所求 是不是从曲线上一个定点出发的两条连线的斜率。

常见收获是一个定值：$\alpha$、$\gamma$ 里往往不含动直线的参数，于是 $k_{PA}k_{PB}$ 是常数。

用在本题

浙江 2022 q21(2)：$P(0,1)$ 在 $\frac{x^2}{12}+y^2=1$ 上，令 $Y=y-1$ 得 $\frac{X^2}{12}+Y^2+2Y=0$； $AB:y=kx+\frac12$ 化成 $2kX-2Y=1$，用它乘一次项 $2Y$ 得 $\frac{X^2}{12}+4kXY-3Y^2=0$， 除以 $X^2$ 得 $3m^2-4km-\frac1{12}=0$。于是 $k_{PA}+k_{PB}=\frac{4k}{3}$、$k_{PA}k_{PB}=-\frac1{36}$（与 $k$ 无关的定值）。