两点设参数角再和差化积

解题套路

1. 设点：$A(a\cos\alpha,\ b\sin\alpha)$、$B(a\cos\beta,\ b\sin\beta)$。

2. 换成半和半差：$u=\dfrac{\alpha+\beta}{2}$、$v=\dfrac{\alpha-\beta}{2}$，于是 $\alpha=u+v$、$\beta=u-v$。

3. 和差化积：

   $$\cos\alpha+\cos\beta=2\cos u\cos v,\qquad \sin\alpha+\sin\beta=2\sin u\cos v,$$ $$\cos\beta-\cos\alpha=2\sin u\sin v,\qquad \sin\alpha-\sin\beta=2\cos u\sin v .$$

   和只带 $\cos v$，差只带 $\sin v$，两边的 $v$ 因子都能约掉——这正是它省事的地方。

4. 读条件：中点、两点坐标之和这类对称条件，约掉 $\cos v$ 后只剩 $u$， 往往一条方程就把 $u$ 定死；剩下的量全是 $v$ 的函数，一元求最值。

一个典型的化简

「弦 $AB$ 的中点落在直线 $y=\lambda x$ 上」，代入即

$\cos v=0$ 意味着 $\alpha-\beta=\pi$，即 $A$、$B$ 关于原点对称、弦过原点—— 按题意舍掉之后就能约掉 $\cos v$，得

一条式子定出 $u$，$v$ 还是自由的，剩下所有量都成了 $v$ 的一元函数。

面积怎么写

三角形面积用叉积最省事：$S_{\triangle ABP}=\dfrac12\lvert(A-P)\times(B-P)\rvert$，展开是

三块里 $x_Ay_B-x_By_A=ab\sin(\beta-\alpha)=-ab\sin 2v$，后两块由上面的差公式各出一个 $\sin v$。 于是 $S$ 是 $\sin v$ 与 $\sin 2v$ 的组合，求导后化成 $\cos v$ 的二次方程。

常见失手

1. 约 $\cos v$ 不说理由。 $\cos v=0$ 是一支真实的情形（弦过中心），要按题面条件明确舍掉。
2. $u$ 只取一个值。 $\tan u=c$ 给的是 $u$ 模 $\pi$ 的一族；不过 $u$ 相差 $\pi$ 时 $(\alpha,\beta)$ 整体平移 $2\pi$ 或交换 $A$、$B$，得到的是同一条弦，通常取一个代表即可——但要说这句话。
3. 忘了 $v\ne0$。 $v=0$ 时 $A$、$B$ 重合，不成弦。