重心坐标取三顶点的平均

解题套路

设 $A$、$B$、$C$ 是三角形的三个顶点，$G$ 是重心，则

写成坐标就是「横坐标取平均、纵坐标取平均」。

怎么来的：设 $M$ 是 $BC$ 的中点，重心在中线 $AM$ 上且 $AG:GM=2:1$，故 $\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AM} =\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\left(\frac{\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{2}-\overrightarrow{OA}\right)$， 整理即得。

一个高频特例：两个顶点关于 $O$ 对称

若 $B$、$C$ 关于点 $O$ 对称（$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\vec 0$），上式当场塌成

重心就是第三个顶点按 $\frac13$ 缩向 $O$。圆锥曲线题里这一条特别常见——两个焦点关于中心对称，于是「焦点三角形的重心」不过是那个动点的 $\frac13$ 位似像。

由此立刻可知：两个动点 $A$、$B$ 的重心 $G$、$H$ 与 $A$、$B$ 是一对位似图形（中心 $O$、比 $\frac13$），所以 $|GH|=\frac13|AB|$、$GH\parallel AB$、以 $GH$ 为直径的圆就是以 $AB$ 为直径的圆缩小三倍—— 凡是「点与图形的相对位置」这一类条件，换成 $A$、$B$ 那一版一字不改。

自检

• 公式对任意参考点 $O$ 都成立；写成「坐标取平均」时那个 $O$ 就是坐标原点。
• 别和外心、内心、垂心混：只有重心是三顶点的算术平均。
• 用「塌成 $\frac13$」这一步前，先确认那两个点真的关于 $O$ 对称——椭圆、双曲线的两焦点是，抛物线的焦点与准线不是。