套路

把随机变量平移成计数变量

题面的随机变量常常是"每个个体记若干分再求和"。若各类分值只有两档，把整体减去一个常数，它就变成"某一类的个数"这种标准计数变量（二项分布或超几何分布），分布列与期望都能直接抄公式——Y=X−cY=X-c 时 E(X)=E(Y)+cE(X)=E(Y)+c，而分布列只是把取值整体挪 cc，概率一个不变。

解题套路

  1. 看分值有几档。 两档（比如白球 22 分、黑球 11 分）就有戏：把低档那一档当”底薪”。

  2. 拆成底薪 + 提成。 取 nn 个个体、低档分值是 aa、高档是 bb， 记 WW 为高档个体的个数，则

    X=an+(b−a)W.X=an+(b-a)W .

    分值差 b−a=1b-a=1 时更省：X=an+WX=an+W，XX 就是 WW 平移了 anan。

  3. 认 WW 的分布。 有放回 ⇒\Rightarrow 二项分布；不放回 ⇒\Rightarrow 超几何分布。

  4. 抄公式，再平移回去。

    P(X=an+k)=P(W=k),E(X)=an+(b−a)E(W).P(X=an+k)=P(W=k),\qquad E(X)=an+(b-a)E(W) .

为什么值得做这一步

  • 分布列不必重算。 概率表一模一样，只是第一行的取值整体加了个常数。 阅卷要的那张表，本质上是标准分布的表。
  • 期望有现成公式。 超几何分布 E(W)=n⋅MNE(W)=n\cdot\frac{M}{N}、二项分布 E(W)=npE(W)=np， 都不用列表就能写。
  • XX 的取值范围自动出来了。 WW 从 max⁡{0,n−N+M}\max\{0,n-N+M\} 到 min⁡{n,M}\min\{n,M\}， 平移一下就是 XX 的取值范围——比”逐个试哪些分数和可能出现”可靠得多。

用起来长什么样

袋中 44 白 55 黑，取一白得 22 分、取一黑得 11 分，不放回取 33 个，XX 为总分。

每个球都至少贡献 11 分，白球多贡献 11 分，所以

X=3+W,W=取到的白球数.X=3+W,\qquad W=\text{取到的白球数} .

WW 服从 N=9N=9、M=4M=4、n=3n=3 的超几何分布，取值 0,1,2,30,1,2,3， 于是 XX 取 3,4,5,63,4,5,6（取值范围是算出来的，不是猜的），且

E(X)=3+E(W)=3+3⋅49=3+43=133.E(X)=3+E(W)=3+3\cdot\frac{4}{9}=3+\frac{4}{3}=\frac{13}{3} .

常见失手

  1. 平移量算错。 底薪是”每个个体的最低分 ×\times 个体数”，不是最低分本身。 取 33 个球时底薪是 33 分而不是 11 分。
  2. 分值差不是 11 却当成 11。 白球 55 分、黑球 22 分时是 X=6+3WX=6+3W， 取值间隔为 33，E(X)=6+3E(W)E(X)=6+3E(W)。间隔一旦不是 11， ”XX 取哪些值”就更要靠 WW 的范围推，不能凭直觉列。
  3. 三档以上还硬套。 分值有三种时 XX 不再是单个计数变量的平移， 得回到多项/多元超几何，或者改用指示变量拆分。
  4. 平移了却忘了平移回去：算出 E(W)=43E(W)=\frac43 就交卷。

学它之前先会

共 2 条前置、最深 2 层。

出现在以下题目中

共 1 道题考到本条。