边角互化只留边

解题套路

解三角形的条件里往往边、角混写。要动它，只有两个方向：

本条讲后者。三个固定动作：

1. 把每一个 $\cos$ 换成边的分式（$\sin$ 出现在面积里时先用 $S=\frac12bc\sin A$ 把它整体消掉， 或者留到最后配合 $\sin^{2}+\cos^{2}=1$）。
2. 通分、去分母、约简。条件里的角一旦全没了，剩下的就是一条关于 $a,b,c$ 的多项式等式。
3. 齐次性帮你降元。三条边只定到相似，所以最后一定能除掉一个公共尺度， 令 $r=\dfrac cb$（或 $\dfrac ab$）把两个自由度压成一个。

例

$b+c=2a\cos B$：代入 $\cos B=\dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$，

一条角的条件，变成了一条边的恒等式——这个式子正是 $A=2B$ 的边版本。

什么时候选这条路

• 条件里只出现一个角的余弦（如 $\cos B$），化角为边最省事：一次代入就干净了。
• 结论要的是边的关系（$a^{2}=b(b+c)$、$a+c=2b$ 之类），那当然全程走边。
• 反过来，条件里出现 $\sin$ 的和差、或者出现三个角的对称式，化边为角更顺—— 那时该用正弦定理，而不是本条。

常见失手

• 代入后忘了去分母就约项，把 $\dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{c}$ 的分母漏掉。
• 化到一半又想回到角，两套语言混着写，式子越滚越长。定了方向就走到底。
• 忘了边必须为正、且满足两边之和大于第三边：解出的 $r$ 要回验，负根和不成三角形的根都得舍。