浙江 2008 · 数学 q13

冷启动：先移项，看看右边攒出了什么

题面：$\triangle ABC$ 中，角 $A$、$B$、$C$ 所对的边分别是 $a$、$b$、$c$，且

$$\left(\sqrt3\,b-c\right)\cos A=a\cos C$$

求 $\cos A$。

第一件事：这是一条「边角混杂」的等式。 左右两边既有边（$a$、$b$、$c$）又有角的余弦 （$\cos A$、$\cos C$）。解这类式子的标准开局只有两个方向——要么全化成角，要么全化成边。 解法一、解法二分别走这两条。

第二件事：先把括号拆开、移项。 左边展开是 $\sqrt3\,b\cos A-c\cos A$，把 $-c\cos A$ 移到右边：

$$\sqrt3\,b\cos A=a\cos C+c\cos A \tag{$\ast$}$$

这一步移项是本题的题眼。 左边只剩「$b$ 乘 $\cos A$」，右边攒出了一个很眼熟的组合： $a\cos C+c\cos A$。它眼熟是有道理的——这个组合恒等于 $b$（三条路各用各的方式说明这一点）。 一旦知道右边是 $b$，$(\ast)$ 就成了 $\sqrt3\,b\cos A=b$，约掉 $b$ 即得答案。

第三件事：$b$ 与 $\sin B$ 都不为零。 $b$ 是三角形的边长，$b>0$；$B$ 是内角，$0<B<\pi$ 故 $\sin B>0$。 下面每次「两边约掉」都靠这两句，先立在这里。

解法一：正弦定理把边全换成角，右边合成 $\sin(A+C)$

怎么想到的。 式子里三条边都是一次的（$\sqrt3 b$、$c$、$a$ 各出现一次）， 这正是边角互化最顺手的形状：用正弦定理把每条边换成对应角的正弦，一次式换一次式， 换完整条等式只剩角，接着就是三角恒等变形的地盘。

① 换元。 设 $\triangle ABC$ 的外接圆半径为 $R$，由正弦定理

$$a=2R\sin A,\qquad b=2R\sin B,\qquad c=2R\sin C$$

代进 $(\ast)$，两边都有公因子 $2R>0$，约掉：

$$\sqrt3\,\sin B\cos A=\sin A\cos C+\sin C\cos A$$

② 右边正是两角和的正弦。

$$\sin A\cos C+\cos A\sin C=\sin(A+C)$$

③ 把 $A+C$ 换成 $B$——注意是正弦，不变号。 三角形的内角和是 $\pi$，故 $A+C=\pi-B$，

$$\sin(A+C)=\sin(\pi-B)=\sin B$$

（这里必须是正弦：$\sin(\pi-B)=\sin B$ 不变号，而 $\cos(\pi-B)=-\cos B$ 要变号。 换角时把这两条记混，是这类题最常见的翻车点。）

④ 约掉 $\sin B$。 于是

$$\sqrt3\,\sin B\cos A=\sin B$$

由 $0<B<\pi$ 知 $\sin B>0$，两边同除以 $\sin B$：

$$\sqrt3\cos A=1 \quad\Longrightarrow\quad \cos A=\frac{1}{\sqrt3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

⑤ 检查这个值是否真能出现。 $\cos A=\frac{\sqrt3}{3}\approx0.577\in(0,1)$， 所以 $A$ 是一个确定的锐角（约 $54.7^{\circ}$），这样的三角形当然存在——答案合法。

解法二：余弦定理把角全换成边，展开后两边只剩 $b$、$c$

怎么想到的。 另一个方向：不动边，把两个余弦用余弦定理换成边的式子 （边角互化只留边）。式子会变长，但全程只是多项式运算，没有任何需要「想到」的技巧—— 这是最不需要灵感的一条路。

① 写出两个余弦。

$$\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}, \qquad \cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$$

② 代入 $(\ast)$。

$$\sqrt3\,b\cdot\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc} =a\cdot\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}+c\cdot\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$$

左边先约掉一个 $b$（$b>0$）：$\dfrac{\sqrt3\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)}{2c}$； 右边第一项约掉 $a$（$a>0$）：$\dfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2b}$。于是

$$\frac{\sqrt3\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)}{2c} =\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2b}+\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2b}$$

③ 右边先合并——这是本条路唯一要算的地方。 右边两项同分母 $2b$，分子相加：

$$\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)+\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)=2b^{2}$$

$a^{2}$ 与 $c^{2}$ 全部抵消，只剩 $2b^{2}$。 所以右边 $=\dfrac{2b^{2}}{2b}=b$。 （这正是冷启动说的「右边那个组合恒等于 $b$」——在这条路上它是算出来的。）

④ 解出来。 等式成了

$$\frac{\sqrt3\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)}{2c}=b \quad\Longrightarrow\quad \sqrt3\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)=2bc \quad\Longrightarrow\quad \frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}=\frac{1}{\sqrt3}$$

左边按余弦定理正是 $\cos A$，故

$$\cos A=\frac{1}{\sqrt3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

⑤ 每一次约分都合法。 全程约掉的是 $a$、$b$、$c$、$2$——三条边都是正数，没有除以零的风险； 也没有两边平方之类会引入增根的操作，所以不必回头验根。

解法三：认出 $a\cos C+c\cos A=b$，一行读出答案

怎么想到的。 $(\ast)$ 的右边 $a\cos C+c\cos A$ 是一个恒等式的左边：在任何三角形里它都等于 $b$。 认识它，这道题就只剩一次除法。下面先把这个恒等式证一遍（不必背，一个坐标系两句话）。

① 证 $b=a\cos C+c\cos A$。 以 $A$ 为原点、射线 $AC$ 为 $x$ 轴正方向建系。则

$$C=(b,\ 0),\qquad B=\left(c\cos A,\ c\sin A\right)$$

（$B$ 到 $A$ 的距离是 $c$，$\overrightarrow{AB}$ 与 $x$ 轴正向的夹角就是 $A$。） 从 $C$ 看：$\overrightarrow{CB}=\left(c\cos A-b,\ c\sin A\right)$，而 $\overrightarrow{CA}$ 的方向是 $(-1,0)$。 角 $C$ 是 $\overrightarrow{CB}$ 与 $\overrightarrow{CA}$ 的夹角，于是

$$a\cos C=\left|\overrightarrow{CB}\right|\cos C =\overrightarrow{CB}\cdot(-1,0) =b-c\cos A$$

移项即得

$$a\cos C+c\cos A=b$$

这个推导对锐角、直角、钝角一视同仁——坐标里 $\cos A$、$\cos C$ 的正负自动带着，不必把 $A$、$C$ 按锐钝切成几种情形逐个验。

② 代回去。 $(\ast)$ 的右边就是 $b$：

$$\sqrt3\,b\cos A=b$$

③ 约掉 $b$。 $b>0$（三角形的边长），

$$\sqrt3\cos A=1 \quad\Longrightarrow\quad \cos A=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

这条路连 $a$、$c$ 都没碰：题面给的 $a\cos C$ 与 $-c\cos A$ 从一开始就注定要合并成 $b$， 剩下的只是 $\sqrt3\cos A=1$。

三条路回头看。 三条路的分歧点只有一个：怎么认识 $a\cos C+c\cos A$。 解法一用正弦定理把它翻成 $\sin(A+C)=\sin B$，再与左边的 $\sin B$ 对消； 解法二用余弦定理把它硬算成 $b$（那一步 $a^{2}$、$c^{2}$ 成对抵消，很干净）； 解法三直接把它当成一条恒等式用。三条路的中间结果完全相同：$\sqrt3\,b\cos A=b$。

本题为什么能只问 $\cos A$。 因为化简后 $a$、$b$、$c$ 与 $B$、$C$ 全部消失， 条件实际上只约束了角 $A$ 一个量。也就是说，满足题设的三角形有无穷多个（形状可以千差万别）， 但它们的 $\angle A$ 全都一样——这正是填空题只问 $\cos A$ 的原因。

答案的形状。 $\cos A=\frac{1}{\sqrt3}$ 要分母有理化写成 $\frac{\sqrt3}{3}$。 顺带可得 $\sin A=\sqrt{1-\frac13}=\frac{\sqrt6}{3}$、$\tan A=\sqrt2$—— 若后一问接着问面积或另一条边，这两个值就是下一步的入口。

🕳️ 避坑

• $A+C$ 换成 $B$ 时，正弦不变号、余弦要变号。 $\sin(A+C)=\sin(\pi-B)=\sin B$， 但 $\cos(A+C)=\cos(\pi-B)=-\cos B$。本题用的是正弦，不加负号； 顺手写成 $-\sin B$ 会得到 $\cos A=-\frac{\sqrt3}{3}$，整道题的符号全反。
• 约掉 $\sin B$ / $b$ 之前先说明它不为零。 $B$ 是三角形内角，$0<B<\pi$ 故 $\sin B>0$； $b$ 是边长故 $b>0$。这两句话一行就能写完，但不写就是漏了前提。
• 别把 $a\cos C+c\cos A$ 记成 $a\cos A+c\cos C$。 恒等式里边与角是错开的： $b=a\cos C+c\cos A$，每一项都是「一条边乘以另一端那个角的余弦」。写成同名配对就不成立了。
• 化边的那条路别急着通分到底。 解法二第 ③ 步先把右边两项合并（分子相加得 $2b^{2}$）， 比把三项一起通分再展开短得多——先看能不能抵消，再决定要不要展开。