等半径两圆的内公切线过连心线中点

解题套路

设两圆半径都是 $r$、圆心 $C_1$、$C_2$，圆心距 $|C_1C_2|=2a$，中点记作 $M$。

1. 先数公切线有几条：$2a>2r$（外离）四条、$2a=2r$（外切）三条、$2r>2a>0$（相交）两条。

2. 两条外公切线平行连心线：等半径两圆之间是一个平移，把一条外公切线平移过去还是它自己， 所以它的方向必须与平移方向（连心线）一致。坐标系里把连心线取成 $x$ 轴时，它们就是 $y=\pm r$， 斜率 $0$。

3. 两条内公切线过中点 $M$：等半径两圆关于 $M$ 中心对称。中心对称把「两圆在直线两侧」 这件事映成自身，于是一条内公切线映过去还是它自己——一条直线在中心对称下不动，只能是它过对称中心。

4. 再定它的倾斜程度：连圆心与切点 $T$，切线 $\perp$ 半径，于是 $C_1TM$ 是直角三角形， $\sin\angle C_1MT=\frac{|C_1T|}{|C_1M|}=\frac{r}{a}.$ 这个角就是内公切线与连心线的夹角，所以

   $\tan\angle C_1MT=\frac{r}{\sqrt{a^2-r^2}} .$

   连心线取成 $x$ 轴、$M$ 取成 $(a\cdot 1,0)$ 那种坐标系里，斜率就是 $\pm\dfrac{r}{\sqrt{a^2-r^2}}$， 纵截距由「过 $M$」一步定出。

为什么值得先看对称再算

「与两圆都相切」照字面是两个方程（两个圆心到直线的距离各等于自己的半径），两个未知量纠缠在 一起，还要处理两层绝对值。对称性把其中一个方程换成「过 $M$」这个一次条件：先得到截距与斜率的 线性关系，剩下的只是一个直角三角形。代数量从两个绝对值方程降到一个 $30^\circ$-级的三角计算。

顺带，四条公切线各是什么也一并有了答案——题目若再给「斜率为正」「与 $x$ 轴夹角」之类的筛选条件， 不必回去解方程，图上直接认。

边界

• 只在等半径时成立。$r_1\ne r_2$ 时内公切线过的是连心线上的内分点（把 $|C_1C_2|$ 分成 $r_1:r_2$），外公切线过外分点、也不再平行连心线。「过中点」是 $r_1=r_2$ 这个特例。
• 两圆内含（$2a<|r_1-r_2|$）时一条公切线都没有；相切、相交时条数变少，先数条数再往下写。
• $a=r$（两圆外切）时 $\sqrt{a^2-r^2}=0$：内公切线退化成过切点、垂直连心线的那一条，斜率不存在。 用 $\tan$ 那个式子前先看一眼 $a>r$。