套路

累加法

由 bn+1−bn=f(n)b_{n+1}-b_n=f(n) 把相邻两项的差从 11 一路加到 n−1n-1，中间项全部对消，只剩 bn−b1=∑f(k)b_n-b_1=\sum f(k)。

解题套路

已知相邻两项的差（而不是项本身）：

b2−b1=f(1),b3−b2=f(2),…,bn−bn−1=f(n−1)b_2-b_1=f(1),\quad b_3-b_2=f(2),\quad \dots,\quad b_n-b_{n-1}=f(n-1)

全部相加，左边中间项两两对消（望远镜求和），得

bn−b1=∑k=1n−1f(k)b_n-b_1=\sum_{k=1}^{n-1}f(k)

于是「求通项」变成「求一个和」。ff 是常数时和就是等差；ff 复杂时未必求得出，但只要能把 ff 上下夹住，累加就给出 bnb_n 的上下界——这正是数列放缩题的主干。

与不等式一起用

若对每个 kk 都有 p(k)≤f(k)≤q(k)p(k)\le f(k)\le q(k)，累加得

b1+∑k=1n−1p(k) ≤ bn ≤ b1+∑k=1n−1q(k)b_1+\sum_{k=1}^{n-1}p(k)\ \le\ b_n\ \le\ b_1+\sum_{k=1}^{n-1}q(k)

上下两侧要分开累加两次，各自用各自的界。挑 pp、qq 的原则：既要夹得住（不等式真成立），又要求得出（和有封闭形式，或至少能粗估）。

三条容易翻车的地方

  • 项数数错：从 b1b_1 加到 bnb_n 用的是 n−1n-1 个差，不是 nn 个。n=100n=100 时是 9999 项。
  • 起点没对齐：某些不等式只在 n≥2n\ge2 或 n≥3n\ge3 成立，那前面那一两项要单独算，不能一起累加。
  • 忘了加回 b1b_1：累加给的是 bn−b1b_n-b_1，不是 bnb_n。

学它之前先会

共 2 条前置、最深 2 层。

出现在以下题目中

共 8 道题考到本条。