换主元把参数当自变量

病灶

含参不等式要证「对一切 $x$ 成立」，习惯动作是固定参数、对 $x$ 讨论。可参数常常出现在 $|2a-b|$、$b(1-2x)$ 这类地方，于是讨论要按参数落在哪一段分好几支，每支都得把同样的活干一遍。

换个角度：不等式的两边关于参数往往是一次的，而一次函数的最值在端点或折点上，一眼就能读。

换法

要证 $F(x,b)\geqslant0$ 对一切 $x\in I$、一切允许的 $b$ 成立，改成：

先对 $b$ 取最小，再回头看 $x$。 这一步是等价的（两重 $\forall$ 可以交换顺序），不损失任何信息。

对 $b$ 求最小的常见形状：

• $F$ 关于 $b$ 是一次的：最小值在 $b$ 的取值端点上；
• $F$ 关于 $b$ 是”一次 $+$ 一个绝对值”（即分段一次）：两段的斜率一负一正时， 谷底恰在绝对值的零点，代进去即可；
• $F$ 关于 $b$ 是二次的：配方读顶点。

一个样本

证 $f(x)+|2a-b|+a\geqslant0$（$f(x)=4ax^{3}-2bx-a+b$，$a>0$，$0\leqslant x\leqslant1$）。

固定 $x$，把左边整理成 $b$ 的函数：

$b<2a$ 时斜率是 $(1-2x)-1=-2x\leqslant0$，$b>2a$ 时斜率是 $(1-2x)+1=2-2x\geqslant0$—— 先降后升，谷底就在 $b=2a$。于是

再证 $2x^{3}-2x+1>0$ 即可。原来要按 $b\leqslant2a$ 与 $b>2a$ 分两支各放缩一次，现在合成一步。

常见失手

• 换完忘了参数自己的范围。参数若受限（如 $b>0$），谷底落在范围外时最小值要取到范围端点上。
• 两个字母都在变时误用。这条要求”对每个固定的 $x$“都成立，若题目只要求”存在 $x$”， 交换顺序就不等价了。
• 以为一定要换。若式子对 $x$ 反而更简单（比如关于 $x$ 是二次、关于参数是三次），就别换。