仿射把椭圆压成圆

解题套路

椭圆 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 作代换

就变成单位圆 $X^{2}+Y^{2}=1$。这是一个线性变换，所以下面这些东西一个都不会坏：

会坏的只有两样：长度与角度。 所以”垂直”「$60^\circ$」「$|AB|=3$」这类条件不能直接搬， 但”平分""平行""面积之比""中点”可以。

为什么值得压

圆里有一批椭圆里没有的”显然”:

• 过圆心的直线平分一条弦 $\iff$ 它垂直于这条弦（垂径定理）；
• 圆心到弦的距离 $d$ 与半弦长 $\ell$ 满足 $d^{2}+\ell^{2}=r^{2}$，弦长只跟 $d$ 有关；
• 圆上任一点到定直线的距离、圆的切线，都只需一个参数。

把椭圆压成圆，这些”显然”就能拿来用；用完再乘回 $a$、$b$ 变回去。

面积怎么换算

$x=aX$、$y=bY$ 的雅可比是 $ab$，所以

求”面积最大时的直线”这类问题，$ab$ 是常数，最大值点在两边是同一个—— 于是可以整道题都在圆里做，只在最后把直线变回去。

常见失手

1. 把角度搬回去。 圆里的”垂直”回到椭圆里一般不再垂直；只能说”这两条线在压缩后垂直”。
2. 忘了变回去。 圆里解出的是 $X$、$Y$，答案要的是 $x=aX$、$y=bY$；直线 $Y=KX+M$ 变回去是 $\dfrac{y}{b}=K\dfrac{x}{a}+M$，斜率变成 $\dfrac{b}{a}K$。
3. 拿它算长度。 $|AB|$ 在两边不成比例（除非 $AB$ 平行于坐标轴），要长度就别压。