对恒等式求导再代值

解题套路

题目给的是恒等式（对一切 $x$ 成立），不是方程（只在某些 $x$ 处成立）。这一字之差给了两件工具：

• 代值：随便代一个 $x$，得系数的一个线性关系；
• 求导：两边一起求导，得到一条新的恒等式，再代值。

两件配合起来的标准动作：

1. 两边同求 $k$ 次导。左边照常规求导法则算；右边逐项求。
2. 挑一个能让别的项归零的值代进去。目标式写成 $\sum a_m(x-a)^{m}$ 时就代 $x=a$：
   • $m<k$ 的项求 $k$ 次导后已经变成 $0$；
   • $m>k$ 的项仍带 $(x-a)$ 的正次幂，代 $x=a$ 后归零；
   • 只剩 $m=k$ 那一项，值是 $k!\,a_k$。
3. 除以 $k!$。

与赋值法的分工

最后一行是这条套路最常见的考法：$f'(x)=\sum k\,a_k x^{k-1}$，代 $x=1$ 就是 $\sum k\,a_k$。

三处要当心

• 两边都要求导。 只对右边求导、左边照抄，是最常见的失手。
• 先求导，后代值。 顺序反了就只剩一个数，导数无从谈起。
• 别漏 $k!$。 右边 $a_k(x-a)^{k}$ 求 $k$ 次导得的是 $k!\,a_k$，不是 $a_k$。

自检

$k$ 取 $0$ 时这条公式应当退化成「代 $x=a$ 得 $a_0=f(a)$」。 算完某个 $a_k$ 后顺手用 $k=0$ 这一句验一遍求导链条有没有算错。