最值给定拆成不等式组加取等

病灶：为了求参数，先得知道最值在哪儿取到

含参的最值反问题长这样：目标里带参数 $t$，题目给「最大值等于 $M$」，反求 $t$。

按常规做法要先回答「最大值在哪个点取到」——可这个点本身随 $t$ 变。于是只能分类讨论， 而分类的边界又要另算一次，一道填空题写成半页纸。

症结在于把「最大值」当成一个需要先定位的点。它不是点，是一句关于全体的话。

拆法

左边那半给出参数的范围，右边那半从范围里挑出具体值。两半都不需要知道最优点在哪。

最小值同理，把 $\leqslant$ 换成 $\geqslant$。

什么时候特别划算

• $D$ 是有限个点，或最值必在有限个点上取到。此时「$\forall x\in D$」退化成有限条不等式， 「$\exists$」退化成有限个等式，整件事就是解一个方程组再筛。 线性规划就是这一档：最值必在顶点取到，顶点只有几个。
• $f$ 关于参数是一次的。每条 $f(x_i)\leqslant M$ 都是关于参数的一次不等式，交起来就是一个区间。

写法（三步）

1. 列出候选点（线性规划就是顶点），把每个点的目标值写成参数的表达式 $f_1,\dots,f_m$；
2. 写不等式组 $f_1\leqslant M,\dots,f_m\leqslant M$，解出参数的范围；
3. 逐个令 $f_i=M$，把落在第 2 步范围内的解留下——留下的就是全部答案。

第 3 步的「落在范围内」正是常规做法里那句「回代验证它确实是最大值」，只不过这里 它已经被前两步准备好了，不用另想。

常见失手

• 只写取等，不写不等式。令某个 $f_i=M$ 解出参数，就宣布得解——漏了「别的点会不会更大」。 这是这类题的头号错法：解出来的值可能让另一个点的目标值超过 $M$。
• 只写不等式，不写取等。得到的是「最大值不超过 $M$」的参数范围，不是「最大值等于 $M$」， 范围会偏大。
• 候选点列漏。有限化那一步依赖一条定理（线性规划里是「最优解在顶点」）； 区域无界、或目标非线性时这条定理未必适用，候选点也就不止顶点。
• 参数使候选点本身移动时不适用。本套路要求候选点与参数无关；若约束里也带参数， 顶点会跟着变，$f_i$ 就不再是参数的一次函数。