套路

两根之比用和方比积

两根之比 r=x2x1r=\frac{x_{2}}{x_{1}} 给定时，不必解方程：(x1+x2)2x1x2=(1+r)2r\frac{(x_{1}+x_{2})^{2}}{x_{1}x_{2}}=\frac{(1+r)^{2}}{r}，左边是韦达的现成货、右边只含 rr，两边一接就是关于参数的方程。这个量对 rr 与 1r\frac{1}{r} 取同一个值。

解题套路

设 ax2+bx+c=0ax^{2}+bx+c=0 的两根满足 x2=r x1x_{2}=r\,x_{1}（x1≠0x_{1}\neq0），则

(x1+x2)2x1x2=x12(1+r)2r x12=(1+r)2r即b2ac=(1+r)2r.\frac{\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}}{x_{1}x_{2}} =\frac{x_{1}^{2}(1+r)^{2}}{r\,x_{1}^{2}} =\frac{(1+r)^{2}}{r} \qquad\text{即}\qquad \frac{b^{2}}{ac}=\frac{(1+r)^{2}}{r} .

左边只用韦达、右边只含比值——参数方程一步到手，两根自己不必露面。

常见的几个值：

rr−1-122 或 12\dfrac12−2-2 或 −12-\dfrac1233 或 13\dfrac13
(1+r)2r\dfrac{(1+r)^{2}}{r}0092\dfrac{9}{2}−12-\dfrac{1}{2}163\dfrac{16}{3}

那个「倒数同值」的性质

(1+1r)21r=(r+1)2r21r=(1+r)2r.\frac{\left(1+\frac{1}{r}\right)^{2}}{\frac{1}{r}} =\frac{\frac{(r+1)^{2}}{r^{2}}}{\frac{1}{r}} =\frac{(1+r)^{2}}{r} .

rr 与 1r\dfrac{1}{r} 给出同一个方程。 这件事有用也有坑：

  • 有用：题目里「x2=2x1x_{2}=2x_{1} 或 x1=2x2x_{1}=2x_{2}」这种成对的情形， 不必分两次算——写一个方程，解出来的若干个参数值再按「谁大谁小」分给两支；
  • 坑：反过来，解出的参数不能照单全收。一个方程管着两支， 必须回头用 x2−x1x_{2}-x_{1} 的正负（或别的不对称条件）判定每个根属于哪一支， 属不上的就是增根。

自检

  • 用之前先确认 x1x2≠0x_{1}x_{2}\neq0（即 c≠0c\neq0），否则比值没定义。
  • r<0r<0 时两根异号，(1+r)2r⩽0\dfrac{(1+r)^{2}}{r}\leqslant0；r>0r>0 时两根同号，该量 ⩾4\geqslant4。 算出来的值若与两根的符号情况对不上，说明哪一步抄错了。
  • 与判别式配合：这条只给「比值」的信息，「两根是不是实数」还得另判。

出现在以下题目中

共 1 道题考到本条。