整数上把严格不等号收紧

做什么

设 $A$、$B$ 都是整数（或都取整数值的表达式）。那么

理由只有一句：整数之间没有夹缝，比 $B$ 大的整数里最小的就是 $B+1$。

这一步看着不起眼，作用却很大：它把「开」的条件换成了「闭」的条件，而一大批定理的前提里写着「闭」。

什么时候想到它

题面里同时出现这两样东西，就该动这一步：

• 约束用的是 $>$、$<$（严格）；
• 变量被限定为整数（「$x$、$y$ 为整数」「$n\in\mathbf{N}^*$」「取正整数」）。

典型场景：

• 整点线性规划。$x+2y>5$ 在整点上等价于 $x+2y\geq 6$。收紧之后可行域是闭的凸区域，最优解在可行域顶点这条定理才允许你去算顶点；算出来的值虽然仍只是下界（顶点未必是整点），但有了下界就能配一个具体的整点把答案夹死。
• 数列与不等式。「求最小的正整数 $n$ 使 $a_n>M$」，先解出 $n>t$，再取 $n\geq\lceil t\rceil$ 型的结论，靠的是同一条。
• 计数问题。「至少要多少个」这类问法，答案总是先算出一个实数界限再向上取整。

两处容易出错

• 两边都得是整数。 $x$ 是整数不等于 $x+2y$ 是整数——$y$ 也得是整数才行。系数是分数时（如 $\dfrac{x}{2}>3$）更要先通分成整系数再收紧，否则 $\dfrac{x}{2}\geq 4$ 是错的（正确的是 $x\geq 7$）。
• 收紧的是约束，不是答案。 收紧后区域变大了一点点（把边界补了进来）还是变小了一点点，要看方向：$>B$ 换成 $\geq B+1$ 是变小（去掉了 $(B,B+1)$ 这段），但在整点上没丢任何点，所以对整数解等价。而算出来的连续最优值是对实数点取的，它只是整数最优值的下界，不能直接当答案报上去——还要再找一个整点把它取到。