比对内外层的对称轴

解题套路

1. 找内层的对称轴。

   • $g(x)=x^{2}+bx+c$：轴是 $x=-\dfrac{b}{2}$；
   • $g(x)=|x-m|$：轴是 $x=m$；
   • $g(x)=\sin 2x$：由 $\sin(\pi-2x)=\sin 2x$ 得 $g\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=g(x)$， 轴是 $x=\dfrac{\pi}{4}$（$\sin$ 还有周期，把 $x$ 与 $x+\pi$ 也折到一起）。

2. 写出折叠关系：$g(2m-x)=g(x)$ 对一切 $x$ 成立。

3. 把要求转给外层：若 $f$ 存在，则

   $$h(2m-x)=f\bigl(g(2m-x)\bigr)=f\bigl(g(x)\bigr)=h(x),$$

   即 $h$ 必须绕同一条直线 $x=m$ 对称。

4. 对不上就否定，对得上再造 $f$。轴一致只是必要条件；确认之后， 在轴的一侧（$g$ 在那里是单调的、一一的）把 $x$ 反解成 $g$ 的表达式，代进 $h$ 就得到 $f$。

为什么这一步值钱

• 一眼定生死。$x^{2}+1$ 的轴是 $x=0$，$|x+1|$ 的轴是 $x=-1$——不用算就知道配不出 $f$； 而 $x^{2}+2x=(x+1)^{2}-1$ 的轴也是 $x=-1$，与 $|x+1|$ 同轴，值得往下造。
• 比逐个试点更有解释力。试点只告诉你「这一对不行」，对称轴告诉你为什么不行、 以及把式子改成什么就行了。
• 反解只需在半边做。轴的一侧上 $g$ 单调，$x$ 能唯一解出来，$f$ 的表达式跟着出来。

注意

• 同轴只是必要条件。$g$ 若还有别的折叠方式（如 $\sin 2x$ 的周期性）， 每一种都要给 $h$ 提一次要求，全都满足才算过关。
• 轴的位置别只看括号里的符号。$x^{2}+2x$ 要先配方成 $(x+1)^{2}-1$ 才能读出轴 $x=-1$。
• 造出 $f$ 之后要回代验证，并检查它的定义域覆盖了 $g$ 的值域。