等差数列的归一化

依据

设 $\{a_n\}$ 是公差 $d\ne0$ 的等差数列。作变换

则 $a_n'=n$。关键是这个变换可逆、且保持「等差」：对任意一组下标，$\{a_{n_1},\dots,a_{n_k}\}$ 成等差数列 $\iff$ $\{a_{n_1}',\dots,a_{n_k}'\}$ 成等差数列——因为「相邻两项之差为常数」这件事，在同时减一个数、再同除一个非零数之后照旧成立（差被同一个 $d$ 除，常数还是常数）。

所以凡是只问「哪些子列成等差数列」「能不能分成若干组等差数列」这类结构问题，都可以

为什么值得先做这一步

• 一般项 $a_1+(n-1)d$ 里的两个字母 $a_1$、$d$ 从此消失，题目从「带参数的数列」变成一串自然数——可以直接摆出来数、可以画格子、可以列表穷举。
• 「$\{x,y,z,w\}$ 成等差数列」在自然数上就是四个数等间距，一眼看得出来。
• 归一化之后所有构造都可以写成具体数字，答案更好检验。

注意

• 必须 $d\ne0$：$d=0$ 时那个变换的分母为零，而且常数数列的子列全部平凡地成等差数列，问题的性质完全变了。所以题面给「公差不为 $0$」这句话不是废话，它正是归一化的许可证。
• 归一化只保「等差」这一类性质。凡是涉及具体数值（求某项的值、求和的大小、正负号）的问题不能这么设——那些量会被变换改掉。
• 落笔时要把理由写出来（「因为一个数列同时加上一个数或乘以一个非零数后仍是等差数列，且子列的等差性不受影响，故不妨设 $a_k=k$」），不能默默换掉。

用在本题

2024 年新课标Ⅰ卷第 19 题：数列 $a_1,\dots,a_{4m+2}$ 是公差不为 $0$ 的等差数列，问删掉两项后剩下的能否分成 $m$ 组、每组 $4$ 个成等差数列。归一化后整道题变成对自然数列 $1,2,\dots,4m+2$ 的分组问题——第 (1) 问可以直接把 $1$ 到 $6$ 摆出来穷举，第 (2) (3) 问的构造也全部写成具体数字。