取倒数化递推

什么时候想到它

递推式里 $a_{n+1}$ 是 $a_n$ 的分式或含 $a_n^2$ 的多项式，直接求通项无望；但如果倒数能整理成加法，问题立刻变简单。两类最常见：

第二条的拆分靠一次裂项：$\dfrac{c}{a(c-a)}=\dfrac1a+\dfrac1{c-a}$（通分即得）。

解题套路

1. 两边取倒数，把乘除结构变成加法结构。取倒数前先确认 $a_n\neq0$（通常由「$a_n>0$」的归纳保证）。
2. 看差 $\dfrac{1}{a_{n+1}}-\dfrac{1}{a_n}$ 是什么：
   • 是常数 → $\left\{\dfrac1{a_n}\right\}$ 是等差数列，直接写通项；
   • 是一个随 $n$ 变但能夹住的量 → 用不等式把它上下夹住，再累加，得到 $\dfrac1{a_n}$ 的上下界（这就是「近似等差」的用法）。
3. 回到 $a_n$：$\dfrac1{a_n}$ 的界取倒数就是 $a_n$ 的界，注意取倒数会把不等号方向翻过来。

为什么这一招管用

$a_{n+1}=a_n(1-a_n/c)$ 这类递推里 $a_n$ 单调减到 $0$，衰减越来越慢，$a_n$ 本身既不是等差也不是等比，看不出规律。但倒数是往上涨的，而且涨幅几乎恒定——衰减速度的倒数才是这个系统里线性的那个量。找对了要看的量，一个”没有通项”的数列就变成了一条近似直线。

常见失手

• 忘了先证 $a_n>0$：取倒数、翻不等号都要它。
• 倒数后不等号没翻：$\dfrac1{a_n}>M>0\Rightarrow a_n<\dfrac1M$，方向反了整题就废。
• 裂项凑错：$\dfrac{c}{a(c-a)}=\dfrac1a+\dfrac1{c-a}$，两个分母加起来要等于 $c$；写成 $\dfrac1a-\dfrac1{c-a}$ 就错了，通分验一遍最稳。