套路

两数之积已定就设成一对倒数

两个正数的**积**已知（ $xy=m^{2}$ ）时，把它们写成 $mk$ 与 $\dfrac{m}{k}$ ——积自动满足，只剩一个 $k>0$ ；原式对 $x$ 、 $y$ 对称的话会变成 $k+\dfrac1k$ 的函数，一步接上基本不等式。

解题套路

认出「积已定」：条件里出现 $xy=m^{2}$ （ $ac=\dfrac{b^{2}}{4}$ 就是 $m=\dfrac b2$ 、等比数列的 $a_{n-1}a_{n+1}=a_{n}^{2}$ 、韦达定理的两根之积）。
设成一对倒数： $x=mk$ 、 $y=\dfrac{m}{k}$ （ $k>0$ ）。积这个条件从此自动成立，两个未知数塌成一个。
对称式必然并成 $s=k+\dfrac1k$ ：
$x+y=m\left(k+\frac1k\right)=ms ,\qquad x^{2}+y^{2}=m^{2}\left(k^{2}+\frac{1}{k^{2}}\right)=m^{2}(s^{2}-2) .$
$s\geq 2$ 是自带的（基本不等式， $k=1$ 取等）——这一条往往就是题目要的那个界。

已知	设法	新变量的天然范围
$x+y=S$	$x=\dfrac S2+t$ 、 $y=\dfrac S2-t$	$\\|t\\|<\dfrac S2$ （要两数同号则更窄）
$xy=m^{2}$	$x=mk$ 、 $y=\dfrac mk$	$k>0$ ，且 $s=k+\dfrac1k\geq 2$

两条路都是「把两个未知数压成一个」，选哪条看条件给的是和还是积；给了和又给了积，那就直接走韦达定理、列一元二次方程。

设成 $mk$ 与 $\dfrac mk$ 默认了 $x$ 、 $y$ 同号且非零（边长、正项数列天然满足）。两数可能异号时这条路不能直接用——先分情形，或改用 $x=mk$ 、 $y=\dfrac mk$ 带符号的版本。

共 1 道题考到本条。