压缩变换把椭圆化为圆

解题套路

1. 作变换：对 $C:\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 令

   $$x'=\frac{x}{a},\qquad y'=\frac{y}{b},$$

   则 $C$ 变成单位圆 $C':x'^{2}+y'^{2}=1$。原点不动，两条坐标轴不动。

2. 把已知的线一起变过去。直线变直线：$y=kx+m$ 变成 $by'=akx'+m$，斜率按

   $$k'=\frac{a}{b}\,k$$

   放大。$x$ 轴上的点横坐标除以 $a$，$y$ 轴上的点纵坐标除以 $b$。

3. 在圆里解。用圆才有的那些性质——半径垂直于切点处的切线、弦心距与半弦长的勾股、 圆心角与圆周角、四点共圆——把要找的点 $P'$ 定出来。

4. 逆变换回去：$x=ax',\ y=by'$。

为什么变换是合法的

$(x,y)\mapsto\left(\frac{x}{a},\frac{y}{b}\right)$ 是一个可逆线性映射（两个方向各作一次伸缩）。 可逆线性映射保持下面这些东西，所以在圆里得到的结论可以原样搬回椭圆：

• 点在不在线上、在不在曲线上（代入关系不变）；
• 直线仍是直线，平行仍是平行；
• 相切仍是相切。理由值得说清：相切 $=$ 联立方程组有重根， 线性代换是双射且把多项式次数保住，重根仍是重根。所以「切点」变过去还是「切点」；
• 共线三点的定比（中点仍是中点，三等分点仍是三等分点）；
• 面积的比（所有面积统一乘 $\frac{1}{ab}$，比值不变）。

它不保持什么——这是最容易翻车的地方

长度、角度、垂直、圆，一个都不保。 $x$ 方向缩 $\frac1a$、$y$ 方向缩 $\frac1b$， 两个方向缩得不一样多，于是：

• 变换前的两条垂线，变换后一般不再垂直（除非它们平行于坐标轴）；
• 变换前后距离没有固定的换算系数，$|P'Q'|$ 与 $|PQ|$ 之间没有比例关系；
• 椭圆上的等分点变过去是圆上的等分点，但弧长比不保。

所以这条套路的正确用法是：用它定”点在哪”，定完立刻变回原图去算距离和角度。 凡是题目问的是长度、角度、面积的绝对值（不是比值），都必须在原图里算。

用它做什么

• 求椭圆切线的切点。椭圆没有”半径垂直切线”这条性质，圆有。 变到圆里用 $k_{OP'}\cdot k_{l'}=-1$ 一步定出 $P'$，比联立 $\Delta=0$ 少一整套配方。
• 中点弦、平行弦系。圆里”垂直平分弦的直线过圆心”， 变回去就是椭圆的中点弦斜率关系（和点差法给的是同一个结论）。
• 椭圆内接三角形/多边形的面积比。面积统一乘 $\frac{1}{ab}$， 比值问题在圆里做完直接搬回来。
• 判断内接图形的存在性与个数。这类问题只关心”有几个点满足条件”， 而点的个数是变换保持的。

失手处

• 把圆里算出的距离直接当成椭圆里的距离。这是最常见的一条， 等于默认了变换是相似变换——它不是。
• 把圆里的垂直搬回椭圆。$OP'\perp l'$ 变回去不是 $OP\perp l$。 上一条与这一条合起来的口诀是：位置搬得回来，度量搬不回来。
• 变换直线时只除一个字母。$y=kx+m$ 要把 $x=ax'$、$y=by'$ 同时代进去， 只代一个会把斜率算成 $ak$ 或 $\frac kb$。
• $a$、$b$ 记反。横半轴除以 $a$、纵半轴除以 $b$；写成 $x'=\frac xb$ 整题就废了。