指对函数的切线放缩

解题套路

两条最常用的切线放缩（都由「相应函数减切线后求导看最值」得到，等号各在切点取到）：

证不等式时，若式子里卡着一个 $e^{(\cdot)}$ 或 $\ln(\cdot)$ 不好处理，就用上面把它放成一次式，把指对混合的不等式降成多项式，后者往往一眼能配方判号。

取号方向别弄反：要往大了放（证某式 $\ge$ 目标）时，把 $e^x$ 换成 $\ge x+1$、把 $-\ln x$ 换成 $\ge 1-x$；要往小了放时用反向不等式（如 $e^x\le$ 什么需另证，标准两条只给「$e^x$ 的下界、$\ln x$ 的上界」）。

由它衍生的常用形

• 令 $x\to x-1$：$e^{x-1}\ge x$。
• 令 $x\to\ln x$（$x>0$）：$x\ge \ln x+1$，即 $\ln x\le x-1$（与上同源）。
• 取倒数 $x\to 1/x$：$\ln x\ge 1-\dfrac1x$（$\ln x$ 的下界，方向相反，配上下界一起能夹 $\ln x$）。

自检

放缩是「松」了一步，所以要核对方向：放完之后得到的是结论的充分条件还是必要？放完得到的下界要确实 $>0$（或 $\ge0$ 且等号取不到），不等式才算证完；若放太松把正号放没了，得换更精细的放缩或改求导。