同形条件相减消常数

解题套路

看到两个条件形如

——同一个式子、同一个常数，只有下标不同，第一反应是相减：

常数 $C$ 在这一步彻底消失，两边的「公共骨架」也跟着塌掉，剩下的往往只是几个相邻量之间的 一条低次关系。三步：

1. 确认真的同形。系数、常数、结构必须逐项一样，只有下标（或某个参数）在变。 差一个符号或差一个系数，相减就不干净，这条路不成立。
2. 相减，并把两边各自化简成「差」的自然形态。左边若是前缀和，$S_n-S_m$ 就是一段 连续项之和；左边若是积分、是计数、是面积，同样有各自的「差」的读法。
3. 约掉公因子。剩下的式子通常整体带着某一项（如 $a_m$）作公因子，除掉它就只剩比值 （数列里就是公比 $q$、公差 $d$）的方程。除之前先说清那个因子为什么不为零。

为什么比「各自展开」强

各自展开要引进全部基本量（数列里是 $a_1$ 与 $q$ 两个），最后还得想办法把不问的那个消掉； 相减是一步就把它消掉——因为公共骨架里正含着它。

顺带还躲掉两件麻烦：

• 不必用闭式求和公式，也就不必单独讨论公比 $q=1$（闭式的分母是 $1-q$）；
• 少一个未知量，方程降一次，两根变一根的情形很常见。

什么时候不能用

• 两个条件不同形（常数不同、系数不同）：相减留下一个新常数，没省事；
• 相减后信息不够（例如原来是两个独立方程，相减只给出其中一个的组合）—— 这时相减只是替换掉其中一式，另一式仍要留着用。相减不能把两个条件用成一个： 差式加上原来任意一式，才与原来的两式等价。

自检

解出结果后，把它代回原来的两个条件（不是代回差式）逐条验。 只验差式是查不出错的——差式比原条件弱。