元素个数两头夹

套路说明

什么时候用：题目给的是几条互相咬住的规则（「$A$ 里的元素运算之后落进 $B$」「$B$ 里的元素运算之后落回 $A$」）， 问的是集合能有几个元素、或某个个数的断言是否必然成立。这类题不给具体元素， 所以既算不出集合，也没法一个个数——只能估。

两个方向各估一次：

两个界都是关于同一个 $n$ 的式子，于是下界不超过上界这件事本身就是一个关于 $n$ 的不等式—— 解它就得到规模的范围。若两界在某个 $n$ 上相等，那个 $n$ 上的元素个数被唯一确定， 后面的结构（谁与谁必须相等）也跟着被逼出来。

两个界怎么写得可靠

• 下界：链要给足，但只给能证明互不相同的那些。 设 $a_1<a_2<\cdots<a_n$，两两乘积里 $a_1a_2<a_1a_3<\cdots<a_1a_n<a_2a_n<\cdots<a_{n-1}a_n$ 是一条严格递增的链， 共 $2n-3$ 项，所以这些乘积至少给出 $2n-3$ 个不同的值。别声称「$\binom n2$ 个乘积全不同」—— 中间那些乘积可能相等，多说的部分不成立。
• 上界：说清映射与它的单射性。 「$T$ 里每个元素除以 $T$ 的最小元都落在 $S$ 里」给出一个 $T\setminus\{\min T\}\to S$ 的映射；被除数不同则商不同，故它是单射，于是 $|T|-1\leqslant|S|$。单射这一句不能省——没有它，映射只说明「有像」，数不出个数。

注意

• 夹出规模之后往往还要继续夹结构：个数取到边界时，「本该互不相同的那几个值里有两个相等」 这类等式会被强制成立，而它就是解题的下一步。
• 两界相撞给出的是必要条件。要确认这个规模真能达到，还得回头造一个例子出来 （构造与上界是两件事，缺哪一件都不算做完）。