比值代换

解题套路

场景：$x_1\ne x_2$ 是同一个方程的两个根（常见于「两零点」「两切点」「两交点」），要证一个关于 $x_1,x_2$ 的不等式。

1. 两式相减：把两个「代入为零」的等式相减。含参数的常数项当场消掉，剩下的式子里 $\ln x_1-\ln x_2$ 与 $x_1-x_2$ 成对出现。
2. 除以 $x_1-x_2$：得到一个等式，其中出现

这一块是全套路的枢纽——它是对数平均的倒数，单靠它无法定值。 3. 令 $k=\dfrac{x_1}{x_2}$：则 $\ln x_1-\ln x_2=\ln k$，而

都只含 $k$。目标只要能凑成这类齐次的比，就变成了一元问题。 4. 一元求解：对关于 $k$ 的函数用导数定单调性，再由 $k$ 的取值范围收口。

关键判断：目标必须凑成齐次比

第 3 步不是万能的。$x_1+x_2$ 本身不是 $k$ 的函数（它还随整体缩放而变）， $\dfrac{\ln x_1-\ln x_2}{x_1-x_2}$ 也不是。只有零次齐次的组合（分子分母同次，缩放后不变） 才化得掉，例如

所以用这条套路时，先看目标能不能配成这种形状；配不出来就说明还缺一步变形。这也解释了 一个常见困惑：为什么很多题要把两个不等式乘成一个——因为乘出来那个组合恰好是齐次的。

常配的一元函数

$\varphi(k)=\dfrac{(k+1)\ln k}{k-1}$（$k>1$）是最常出现的一个。它单调递增，因为

而 $u(k)=k-\dfrac1k-2\ln k$ 满足 $u(1)=0$、$u'(k)=1+\dfrac1{k^{2}}-\dfrac2k=\left(1-\dfrac1k\right)^{2}\ge0$， 故 $u(k)>0$。顺带一提 $\varphi(k)>\varphi(1^{+})=2$，这正是「对数平均小于算术平均」。

用在本题

浙江 2022 q22(2)(ii)：换元后三个切点给出 $\dfrac m2t^{2}-(m+1)t+\ln t+b=0$ 的三个根。 把 $t_1,t_3$ 两式相减、除以 $t_1-t_3$，得 $\dfrac m2(t_1+t_3)-(m+1)+L=0$ （$L=\dfrac{\ln t_1-\ln t_3}{t_1-t_3}$）；再令 $k=\dfrac{t_1}{t_3}=\dfrac{x_3}{x_1}$，则 $(t_1+t_3)L=\varphi(k)$，双变量彻底消失。