共线点到定直线的距离成比例

解题套路

设动点 $P$ 在直线 $m$ 上，$l$ 是另一条定直线，$m$ 与 $l$ 交于 $B$。则

——距离与「到交点的距离」成正比。于是对 $m$ 上的任意两点 $P$、$Q$：

用途：题目给了 $m$ 上几个点之间的长度比，就能直接换算成它们到 $l$ 的距离比——不必求出交点 $B$ 的坐标。

典型场景

过焦点 $F$ 的直线交渐近线于 $B$、交曲线于 $A$，已知 $|FB|=3|FA|$（$A$ 在 $F$、$B$ 之间）：

而 $d(F,l)$ 对双曲线是现成的（等于 $b$）。一条等式就把 $A$ 的坐标卡死，$B$ 从头到尾没登场。

用的时候盯住两处

• 比的是「到交点的距离」，不是到 $F$ 的距离。$A$ 在 $F$ 与 $B$ 之间时 $|AB|=|FB|-|FA|$；$A$ 在 $F$ 外侧时 $|AB|=|FB|+|FA|$，比例随之变成 $\dfrac43$——两种位置给两个方程，都要写。
• 距离是非负的，$d(P,l)=\dfrac{|Ax_P+By_P+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ 那个绝对值不能扔：去掉绝对值时正负两支各解一次，再用题面条件淘汰。