椭圆

教材原文

我们把平面内与两个定点 $F_{1}$, $F_{2}$ 的距离的和等于常数（大于 $|F_{1}F_{2}|$）的点的轨迹叫做椭圆（ellipse）。这两个定点叫做椭圆的焦点（focus），两焦点间的距离叫做椭圆的焦距（focus distance），焦距的一半称为半焦距。

观察我们画出的图形，可以发现椭圆具有对称性，而且过两个焦点的直线是它的对称轴，所以我们以经过椭圆两焦点 $F_{1}$，$F_{2}$ 的直线为 $x$ 轴，线段 $F_{1}F_{2}$ 的垂直平分线为 $y$ 轴，建立平面直角坐标系 $Oxy$，如图3.1-2所示.

设 $M(x, y)$ 是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为 $2c (c > 0)$，那么焦点 $F_{1}, F_{2}$ 的坐标分别为 $(-c, 0), (c, 0)$。根据椭圆的定义，设点 $M$ 与焦点 $F_{1}, F_{2}$ 的距离的和等于 $2a$。

由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集

$P = \{M \mid | M F _ {1} | + | M F _ {2} | = 2 a \}.$

$\left| M F _ {1} \right| = \sqrt {(x + c) ^ {2} + y ^ {2}}, \left| M F _ {2} \right| = \sqrt {(x - c) ^ {2} + y ^ {2}},$

$$\sqrt {(x + c) ^ {2} + y ^ {2}} + \sqrt {(x - c) ^ {2} + y ^ {2}} = 2 a.\tag{\text{\textcircled{1}}}$$

将方程④两边同除以 $a^2 (a^2 -c^2)$ ，得

$$\frac {x ^ {2}}{a ^ {2}} + \frac {y ^ {2}}{a ^ {2} - c ^ {2}} = 1.\tag{\text{\textcircled{5}}}$$

由椭圆的定义可知， $2a>2c>0$ ，即a>c>0，所以 $a^{2}-c^{2}>0$ .

由图3.1-3可知， $|PF_{1}| = |PF_{2}| = a$ ， $|OF_{1}| = |OF_{2}| = c$ ， $|PO| = \sqrt{a^2 - c^2}$ 令$b = |PO| = \sqrt{a^2 - c^2}$ ，那么方程 ⑤ 就是

$$\frac {x ^ {2}}{a ^ {2}} + \frac {y ^ {2}}{b ^ {2}} = 1 (a > b > 0).\tag{\text{\textcircled{6}}}$$

由于方程②③的两边都是非负实数，因此方程①到方程⑥的变形都是同解变形。这样，椭圆上任意一点的坐标 $(x, y)$ 都满足方程⑥；反之，以方程⑥的解为坐标的点 $(x, y)$ 与椭圆的两个焦点 $(c, 0)$，$(-c, 0)$ 的距离之和为2a，即以方程⑥的解为坐标的点都在椭圆上。我们称方程⑥是椭圆的方程，这个方程叫做椭圆的标准方程。它表示焦点在x轴上，两个焦点分别是 $F_{1}(-c, 0)$，$F_{2}(c, 0)$ 的椭圆，这里 $c^{2}=a^{2}-b^{2}$。

如图3.1-4，如果焦点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 在 $y$ 轴上，且 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 的坐标分别为 $(0, - c)$ ， $(0, c)$ ， $a, b$ 的意义同上，那么椭圆的方程是什么？

容易知道，此时椭圆的方程是

$\frac {y ^ {2}}{a ^ {2}} + \frac {x ^ {2}}{b ^ {2}} = 1 (a > b > 0),$

这个方程也是椭圆的标准方程.

定义

平面内到两定点 $F_1,F_2$ 距离之和等于常数 $2a\ (2a>|F_1F_2|)$ 的点的轨迹叫做椭圆。

标准方程

要点

• 基本量 $a$（半长轴）、$b$（半短轴）、$c$（半焦距）满足 $a^2=b^2+c^2$（$a$ 最大，与双曲线相反）。
• 离心率 $e=\dfrac{c}{a}\in(0,1)$。