浙江 2017 · 数学 q02

冷启动：$a$、$b$、$c$、$e$ 各是谁

题面只给了一个标准方程：

$$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$$

要算的是离心率 $e$。这道题的全部内容，就是把下面四个量分清楚：

第一步永远是「谁是 $a^2$」。 标准方程写成 $\dfrac{x^2}{\square}+\dfrac{y^2}{\square}=1$ 时，两个分母一个是 $a^2$、一个是 $b^2$，而分母大的那个才是 $a^2$——因为 $a$ 是长半轴。本题 $9>4$，所以

$$a^{2}=9,\quad b^{2}=4\quad\Longrightarrow\quad a=3,\ b=2$$

而且 $a^2$ 在 $x^2$ 底下，说明长轴在 $x$ 轴上，焦点也在 $x$ 轴上。

$c$ 还不知道。下面两条路都是去拿 $c$：一条直接搬关系式，一条在图上把这条关系式现推出来。

解法一：读方程套关系式

怎么想到的。 椭圆的三个量之间有一条固定关系，记住它这题就是两步算术：

$$a^{2}=b^{2}+c^{2}$$

① 解出 $c$。

$$c^{2}=a^{2}-b^{2}=9-4=5\quad\Longrightarrow\quad c=\sqrt{5}$$

（$c$ 是长度，取正根。）

② 代离心率的定义。

$$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}$$

对照选项，故选 B。

顺手做一次范围自检。 椭圆的离心率必须落在 $(0,1)$ 里——因为 $c<a$。$\dfrac{\sqrt5}{3}\approx 0.745$，在范围内，通过。这一步能当场毙掉选项 A：$\dfrac{\sqrt{13}}{3}\approx 1.20>1$，任何椭圆都不可能有这个离心率，它是把关系式记成 $c^2=a^2+b^2$（那是另一类曲线的）之后算出来的数。

解法二：在短轴端点处现推

怎么想到的。 上一条路的 $a^2=b^2+c^2$ 是背下来的。它其实是一个直角三角形，而且这个三角形就画在椭圆上——记不清关系式、或者想验一验有没有记反时，把它现推一遍比回忆更可靠。

① 找那个三角形。 取短轴的上端点 $B(0,\,b)$ 与右焦点 $F(c,\,0)$，再加上中心 $O$。$OB$ 在 $y$ 轴上、$OF$ 在 $x$ 轴上，所以 $\triangle OBF$ 在 $O$ 处是直角，两条直角边正是 $b$ 与 $c$。

② 斜边是多少？ 这一步用椭圆的定义：椭圆上任何一点到两个焦点的距离之和等于 $2a$。$B$ 在椭圆上，而它到左右两焦点的距离由对称性相等，于是各占一半：

$$|BF|=\frac{2a}{2}=a$$

③ 勾股定理。

$$b^{2}+c^{2}=|BF|^{2}=a^{2}$$

这就把 $a^2=b^2+c^2$ 推出来了，不是背出来的。代入数字：$4+c^2=9$，得 $c=\sqrt5$。

④ 同样代定义。 $e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt5}{3}$，确认是 B。

这两条路差在哪。 解法一快，代价是那条关系式必须记对；解法二慢半步，但它把关系式的来源摆在眼前，顺带告诉你为什么 $a$ 一定是最大的那个（斜边最长）——于是「$a^2=b^2+c^2$ 还是 $c^2=a^2+b^2$」这个每年都有人记反的问题，在图上根本不会发生。考场上建议：先用解法一算，算完瞄一眼 $e$ 有没有落在 $(0,1)$ 里；对不上就退回解法二把三角形画出来。

四个选项的来路：

选项	值	它是怎么算出来的
A	$\dfrac{\sqrt{13}}{3}$	关系式记反成 $c^2=a^2+b^2$，得 $c=\sqrt{13}$。大于 $1$，一验范围就露馅
B	$\dfrac{\sqrt{5}}{3}$	正确：$c=\sqrt{9-4}=\sqrt5$，$e=c/a$
C	$\dfrac{2}{3}$	把 $\dfrac{b}{a}$ 当成了离心率——那是短长半轴之比，不是 $e$
D	$\dfrac{5}{9}$	算到 $\dfrac{c^2}{a^2}=\dfrac59$ 就交卷了，忘了开方。它是 $e^2$，不是 $e$

C 和 D 都是「差一步」型的错：一个错在把 $b$ 当 $c$，一个错在停在平方上。算完把 $e$ 的定义念一遍——「$c$ 比 $a$」——两个都能挡掉。