浙江 2023 · 数学 q05

题面

5．（5分）（2023•新高考Ⅰ）设椭圆$C_{1} \colon \frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2}{=} 1 ( a {>} 1 )$），C₂：${\frac{x^{2}}{4}} + y^{2} = 1$的离心率分别为$e_{1} , \ e_{2} .$．若$e_{2}{=} \sqrt{3} e_{1}$，则a＝（ ） A$\frac{2 {\sqrt{3}}}{3}$ B$\sqrt{2}$ C$\sqrt{3}$ D$\sqrt{6}$

答案

A

解析

分析

利用椭圆$C_{2} \colon \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$的方程可求其离心率$e_{2}$，进而可求$e_{1}$，可求a

解答

解：由椭圆$C_{2} \colon \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$可得 a₂＝2，b₂＝1，\cdot c_{2}{=} \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3}$$\therefore椭圆$C_{2}$的离心率为e_{2}{=} \frac{\sqrt{3}}{2}$$\therefore e_{2} = \sqrt{3} e_{1} , \therefore e_{1} = \frac{1}{2} , \therefore \frac{c_{1}}{a_{1}} = \frac{1}{2} ,$$\therefore a_{1}^{2} = 4 c_{1}^{2} = 4 ( a_{1}^{2} - b_{1}^{2} ) = 4 ( a_{1}^{2} - 1 )$$\therefore a = \frac{2 \sqrt{3}}{3}或$a {=} - {\frac{2 {\sqrt{3}}}{3}}$（舍去）

故选：A