浙江 2023 · 数学 q05

冷启动：离心率到底由谁决定

两个椭圆：$C_1:\dfrac{x^2}{a^2}+y^2=1\ (a>1)$ 与 $C_2:\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$，离心率 分别是 $e_1,e_2$，且 $e_2=\sqrt{3}\,e_1$，求 $a$。

离心率 $e=\dfrac{c}{a}$ 衡量椭圆有多「扁」。$C_2$ 的数字全已知，能先把 $e_2$ 算死；条件 $e_2=\sqrt{3}\,e_1$ 再把 $e_1$ 定下来；最后用 $e_1$ 反解 $C_1$ 的 $a$。整条链很清楚，差别只在中间这一步你是把焦距 $c$ 也算出来，还是全程绕开 $c$。

注意 $a>1$ 这个条件：它保证 $C_1$ 里 $a^2>1$，所以 $a$ 是长半轴、$1$ 是短半轴，焦点在 $x$ 轴上。少了这句，$a$ 和 $1$ 谁大谁小就两说了。

解法一：先求 c 与 e，再用 c²=a²−b² 解 a

怎么想到的。 离心率定义就是 $e=c/a$，最直接的走法是把每条曲线的 $c$ 都摸出来。

① 算 $C_2$。 长半轴 $a_2=2$、短半轴 $b_2=1$，焦距 $c_2=\sqrt{a_2^2-b_2^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$，于是

$$e_2=\frac{c_2}{a_2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

② 由条件定 $e_1$。 $e_2=\sqrt{3}\,e_1\ \Rightarrow\ e_1=\dfrac{e_2}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}/2}{\sqrt{3}}=\dfrac{1}{2}$。

③ 拿 $e_1$ 反解 $a$。 $C_1$ 里 $c_1^2=a^2-1$，而 $e_1=\dfrac{c_1}{a}=\dfrac{1}{2}\ \Rightarrow\ \dfrac{c_1^2}{a^2}=\dfrac{1}{4}$，即

$$\frac{a^2-1}{a^2}=\frac{1}{4}\quad\Longrightarrow\quad 1-\frac{1}{a^2}=\frac{1}{4}\quad\Longrightarrow\quad a^2=\frac{4}{3}$$

$a>1$ 取正根：$a=\dfrac{2}{\sqrt{3}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$。

解法二：不引入 c，用 e²=1−(b/a)² 两边平方

怎么想到的。 这条路压根不算 $c$。椭圆的离心率 还有一个不含 $c$ 的写法 $e^2=1-\left(\dfrac{b}{a}\right)^2$；而且条件 $e_2=\sqrt{3}\,e_1$ 两边一平方，根号全没了——既然最后要平方，何不从头就用 $e^2$？

① $C_2$ 的 $e_2^2$。 $\left(\dfrac{b_2}{a_2}\right)^2=\dfrac{1}{4}$，故 $e_2^2=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}$。

② 平方条件定 $e_1^2$。 $e_2=\sqrt{3}\,e_1\ \Rightarrow\ e_2^2=3\,e_1^2\ \Rightarrow\ e_1^2=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{4}$。

③ $C_1$ 的 $e_1^2$ 直接给 $a$。 $\left(\dfrac{b_1}{a_1}\right)^2=\dfrac{1}{a^2}$，故

$$e_1^2=1-\frac{1}{a^2}=\frac{1}{4}\quad\Longrightarrow\quad a^2=\frac{4}{3}\quad\Longrightarrow\quad a=\frac{2\sqrt{3}}{3}$$

这两条路差在哪。 解法一贴着定义走，把 $c$ 一路算到底，适合「先把每个量都求出来」的习惯；解法二看穿了「离心率条件最后总归要落到 $a,b$ 的比例上」，于是用 $e^2=1-(b/a)^2$ 一步把 $c$ 跳过，还顺手用平方消掉了条件里的根号——计算量更小，也更不容易在 $\sqrt{\ }$ 上出错。两条路在第③步汇成同一个方程 $1-\frac{1}{a^2}=\frac{1}{4}$，正好互相印证。

🕳️ 避坑

• 椭圆的关系是 $c^2=a^2-b^2$（$c$ 比 $a$ 小），别记成加号 $c^2=a^2+b^2$——记反了 $c$ 会比 $a$ 还大，离心率直接跑出 $1$ 以外。
• 别想当然 $a$ 就是长半轴。本题靠 $a>1$ 保证 $a^2>1$；若没给这个条件，要先比 $x^2$、$y^2$ 两个分母谁大，长半轴是较大那个，焦点也跟着在那条轴上。
• $a^2=\frac{4}{3}$ 开方后 $a=\pm\frac{2\sqrt{3}}{3}$，负的舍去（$a>1>0$）。

对照选项 A. $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$、B. $\sqrt{2}$、C. $\sqrt{3}$、D. $\sqrt{6}$，故选 A。