1.3 集合的基本运算

这一节只有三个运算：并、交、补。定义两句话就说完了，可它是高考数学卷子上出现频率最高的 内容之一——浙江卷近四年有三年把它放在第 1 题或第 2 题。分数不高，但它是开卷第一分钟的手感， 而且几乎所有失分都不是”不会”，是”看错”。

所以这一节的讲法与课本略有不同：先把三个运算摆在一起对照着定义，再花大力气讲三种”看”集合的方式 ——列举法看、不等式看、数轴看。会做与做对之间的差距，全在选对了哪一种看法。

一、三个运算，一句话一个

设 $A$、$B$ 是两个集合。

三个定义里真正要抠的是三个连词：或、且、不。数学里的”或”是可兼的——$x$ 只属于 $A$、 只属于 $B$、同时属于两者，这三种情况都算进并集。日常说”喝茶或喝咖啡”通常指选一样，数学不是。 这一条差别就是”公共元素在并集里只写一次”的来源：$\{4,5,6,8\} \cup \{3,5,7,8\}$ 里的 $5$ 和 $8$ 各自只满足一次”属于 $A$ 或属于 $B$“，集合的元素又互异，所以写成 $\{3,4,5,6,7,8\}$，一共 6 个元素， 不是 8 个。

补集与前两个不同：它必须先说清全集是谁。同一个 $A = \{1,2,3\}$，在 $U = \{1,2,\dots,8\}$ 里 补集是 $\{4,5,6,7,8\}$，在 $U = \mathbf{R}$ 里补集是一个无穷集合。这就是课本把全集放在补集之前 讲的理由——不是多一个名词，是补集这个运算的定义里少不了它。高考题里的全集常常藏在一句话里 （“设全集 $U = \mathbf{R}$”），漏读它就直接做废。

二、三种看法：什么时候用哪一种

这一节所有题目，最后都归到”我怎么把这两个集合摆在一起看”。三种摆法：

1. 列举法看——数元素。 集合是有限的、元素少，就直接把元素写出来对照。交集是抄两边都出现的， 并集是把两边合成一张名单、重复的只留一个。浙江 2022 年第 1 题就是这一种，两个列举法集合求并集， 考的只有”公共元素别写两遍”。

2. 不等式看——解出集合再说。 集合用描述法给出（$\{x \mid 3x - 7 \geqslant 8 - 2x\}$）， 第一步永远是把描述法解成区间：$3x - 7 \geqslant 8 - 2x \Rightarrow 5x \geqslant 15 \Rightarrow x \geqslant 3$。 不解出来就去求交并，是这一节最常见的失分点。

3. 数轴看——画出来数端点。 两个区间求交并，画数轴最不容易错：交集取重叠部分，并集取覆盖部分。 端点要一个一个核：$A = \{x \mid 2 \leqslant x < 4\}$ 的左端点 $2$ 取得到、右端点 $4$ 取不到， 写成区间是 $[2, 4)$。端点的开闭是这一节唯一需要死抠的细节，因为它不影响思路、只影响答案。

第三种看法有一个变体值得单独记：元素是”某类几何图形”或”某类人”的集合，没法画数轴， 也不宜列举，这时候把定义里的”且/或”直接翻译成中文即可。比如 $A$ 是等腰三角形的集合、 $B$ 是直角三角形的集合，那么 $A \cap B$ 就是”既是等腰三角形又是直角三角形”，也就是等腰直角三角形。 这不是取巧，这就是定义。

还有一个变体也值得单独记：元素离散、集合却是无限的。像 $U = \{x \in \mathbf{N} \mid x \geqslant 2\}$ 这样的集合，画数轴只能画成一串孤立的点，交并补全看不出来；但它用列举法加省略号写得清清楚楚： $U = \{2,3,4,\dots\}$。浙江 2014 年第 1 题的两个集合都属于这一类，分别写成 $\{2,3,4,\dots\}$ 与 $\{3,4,5,\dots\}$，补集是谁一眼就看见了。选哪种看法，看的不是集合有限还是无限，是元素连续还是离散。

三、运算律：会用的只有这几条

课本用”思考”的形式问了四条，这里一并列出并说明为什么它们显然：

$A \cup A = A, \quad A \cup \varnothing = A, \quad A \cap A = A, \quad A \cap \varnothing = \varnothing.$

四条都可以一句话读出来：“或”两次同一个条件还是那个条件；与空集取并加不进任何元素； “且”两次同一个条件还是那个条件；与空集取交，任何 $x$ 都过不了”属于空集”这一关。

真正需要记的是德摩根律（课本以练习题的形式给出，见第二组练习第 3 题）：

$$\complement_U (A \cap B) = (\complement_U A) \cup (\complement_U B), \qquad \complement_U (A \cup B) = (\complement_U A) \cap (\complement_U B).$$

记法：补号进括号，交并换个身。它的用处是把”不是……又不是……”这种否定叙述改写成能算的形式， 浙江 2023 年第 13 题（每类至少选 1 门）的”间接法”正是它——正面分类要分两三种情况， 取补之后只剩一次减法。

四、数元素个数：card 公式

课本在”阅读与思考”里给了有限集元素个数的关系式，它在高考里出现得比正文更频繁：

$\operatorname{card}(A \cup B) = \operatorname{card}(A) + \operatorname{card}(B) - \operatorname{card}(A \cap B).$

为什么要减一次：$\operatorname{card}(A) + \operatorname{card}(B)$ 把两边都有的元素数了两遍， 减去 $\operatorname{card}(A \cap B)$ 正好补上这一次重复。课本的例子——两次进货共 $6 + 4$ 种， 重复 2 种，实际 $8$ 种——就是这句话。

这条公式最漂亮的用法是两边的个数都知道、就差重叠几个：浙江 2020 年第 10 题最后一步 $|S \cup T| = 4 + 5 - 2 = 7$，四个选项的差别全在”重叠了几个”上——两个集合各有几个元素都一样， 只是重叠数不同，并集就从 $4$ 变成 $5$。所以这个公式该记成三个数定第四个， 而不只是”求并集个数的公式”。

与它配套的还有补集那一侧：若 $A \subseteq U$ 且 $U$ 有限，则

$\operatorname{card}(\complement_U A) = \operatorname{card}(U) - \operatorname{card}(A).$

浙江 2025 年第 2 题考的就是这一条：把描述法给出的全集老老实实列举清楚，$A$ 数出来， 剩下的一减就是答案。这类题唯一的风险是全集列漏或列多，所以列举时按顺序写、写完数一遍个数。

五、易错清单

按失分频率排：

1. 描述法没解就算。 $\{x \mid 3x - 7 \geqslant 8 - 2x\}$ 不是”$3x-7 \geqslant 8-2x$ 这个式子”， 它是 $\{x \mid x \geqslant 3\}$。先解，再运算。
2. 端点开闭抄错。 $2 \leqslant x < 4$ 与 $2 < x \leqslant 4$ 的交并结果不同。画数轴时用实心/空心 点区分，最后把端点逐个回代原条件核一遍。
3. 补集没看全集是谁。 尤其 $\complement_{\mathbf{R}}$ 与 $\complement_U$ 混着出现时。 浙江 2014 年第 1 题的全集是 $U = \{x \in \mathbf{N} \mid x \geqslant 2\}$，不是 $\mathbf{N}$—— 习惯性地在 $\mathbf{N}$ 里取补，答案会多出 $0$ 和 $1$，而四个选项里根本没有这个错误答案， 等于连”发现自己算错了”的机会都不给你。
4. 并集把公共元素写两遍，或者交集把只出现在一边的元素抄进去。
5. 含参数的集合没讨论。 $A = \{x \mid (x-3)(x-a) = 0\}$ 里 $a$ 可能等于 $3$，那时 $A$ 只有一个元素； $a$ 还可能等于 $B$ 里的 $1$ 或 $4$，那时交集非空。参数题不讨论，等于只答了一种情形。
6. 空集当成”没有集合”。 空集是一个合法的集合，它是任何集合的子集；两个集合无公共元素时 交集写 $\varnothing$，不是写”无”。

六、这一节考过的真题（怎么用它们）

页面下方”考过本节的真题”那一段是构建期从知识图谱派生出来的完整清单，逐年在长。 这批题难度差得极远——多数是开卷第一分钟的手感题，少数是真正的压轴。下面挑三档来读：

第一档：直接算一次并、交、补（近六年年年有）。

• 先做 2022 年第 1 题（列举法并集）与 2023 年第 1 题（描述法交集）：正好各练一种看法。 前者练”公共元素只写一次”，后者练”先解不等式再运算”；
• 再做 2020 年第 1 题与 2021 年第 1 题：两道都是区间交集，数轴上取公共段。 2020 那道还藏了一个更省事的读法——$Q$ 整个含在 $P$ 里，交集就是 $Q$ 本身， 这正是第二节说的”包含关系一眼定运算结果”；
• 然后是 2024 年第 1 题：描述法与列举法混在一起，要先把区间条件化简，再把五个候选逐个过堂；
• 接着 2025 年第 2 题：补集数个数，练”把全集列干净”（本节第四节那条 card 公式的补集版）。
• 最后补一道 2014 年第 1 题：它是这一档里唯一全集不是区间、也不是有限集的—— $U$ 与 $A$ 都是无限的整点集，只能用”列举法加省略号”看。这道题真正的考点是”补集在谁里面取”， 而不是集合本身多难；

第二档：集合味道很淡，但集合是它的语言。

• 2022 年第 20 题（等差数列里塞等比三项）用交集表达”两个条件同时成立”， 2023 年第 13 题（两类课的选法计数）用补集把正面分类换成一次减法， 2022 年第 15 题（抽卡看最小数字）则把”最小值不小于 $k$“这个事件写成一个集合再数个数。 三道题说明：集合不只是一类题，它是写清”条件同时成立""其余情形”这两件事的语言。

第三档：这一节的上限——2020 年第 10 题。

• 题面给两条互相咬住的规则（$S$ 里两个不同元素之积落进 $T$，$T$ 里大数除小数落回 $S$）， 问”$|S|$ 是几则 $|S\cup T|$ 是几”哪一条必然成立。它把本节的三样东西全用上了： 一次容斥（$|S\cup T|=4+5-2=7$，第四节那条 card 公式）、一次交集 （重叠了几个元素才是四个选项的真正差别）、以及集合由规则给定这种最抽象的给法。 它的主干动作是把 $|T|$ 估两次：规则①的递增乘积链顶出下界、规则②的”除法是单射”压出上界， 两界一撞就得到 $|S|\leqslant 4$。建议学完本章再回头做——它不难在运算，难在”没有具体元素也要数个数”。

本节课本习题共 13 道：第 19 页「练习」4 道、第 20 页「练习」3 道、第 21 页「习题 1.3」6 道，逐题全做。 每道题先逐字引课本的题面（引用块），再写解答。

练习（第 19 页）第 1 题

1. 设 $A = \{3, 5, 6, 8\}$, $B = \{4, 5, 7, 8\}$, 求 $A \cap B$, $A \cup B$.

两个集合都是列举法给出的有限集，直接数元素。

交集：抄两边都出现的元素。$3$ 只在 $A$ 里，$4$ 只在 $B$ 里，$5$ 两边都有，$6$ 只在 $A$ 里， $7$ 只在 $B$ 里，$8$ 两边都有。所以

$A \cap B = \{5, 8\}.$

并集：把两边合成一张名单，重复的只写一次。按从小到大排

$A \cup B = \{3, 4, 5, 6, 7, 8\}.$

核一下个数：$A$ 有 4 个元素、$B$ 有 4 个元素、公共的有 2 个，所以并集有 $4 + 4 - 2 = 6$ 个元素， 与上面写出的 6 个相符。

练习（第 19 页）第 2 题

2. 设 $A = \{x \mid x^2 - 4x - 5 = 0\}$, $B = \{x \mid x^2 = 1\}$, 求 $A \cup B$, $A \cap B$.

描述法给出，第一步是把方程解出来、把集合写成列举法。

$x^2 - 4x - 5 = 0$ 即 $(x - 5)(x + 1) = 0$，所以 $x = 5$ 或 $x = -1$，于是 $A = \{-1, 5\}$。

$x^2 = 1$ 即 $x = \pm 1$，注意 $-1$ 不能丢，于是 $B = \{-1, 1\}$。

两个列举法集合再运算：

$A \cup B = \{-1, 1, 5\}, \qquad A \cap B = \{-1\}.$

练习（第 19 页）第 3 题

3. 设 $A = \{x \mid x \text{ 是等腰三角形}\}$, $B = \{x \mid x \text{ 是直角三角形}\}$, 求 $A \cap B$, $A \cup B$.

元素是几何图形，不能列举也不能画数轴，直接把定义里的连词翻译成中文。

交集是”既属于 $A$ 又属于 $B$“，也就是既是等腰三角形又是直角三角形的图形：

$A \cap B = \{x \mid x \text{ 是等腰直角三角形}\}.$

并集是”属于 $A$ 或属于 $B$“——注意这里的”或”可兼，等腰直角三角形也在其中：

$A \cup B = \{x \mid x \text{ 是等腰三角形或直角三角形}\}.$

并集这一项不必写成”是等腰三角形且不是直角三角形，或者是直角三角形”之类的排他说法： 那个说法与上面的答案其实是等价的（把等腰直角三角形排掉一次又加回来一次）， 但它多绕一圈、也更容易在”排掉”那一步写漏。数学里的”或”本来就可兼，直接照定义写最短。

练习（第 19 页）第 4 题

4. 设 $A = \{x \mid x \text{ 是幸福农场的汽车}\}$, $B = \{x \mid x \text{ 是幸福农场的货车}\}$, 求 $A \cup B$.

货车是汽车的一种，所以 $B \subseteq A$。当 $B \subseteq A$ 时并集就是 $A$ 本身（$B$ 加不进任何新元素）：

$A \cup B = A = \{x \mid x \text{ 是幸福农场的汽车}\}.$

这道题考的正是"$B \subseteq A \Rightarrow A \cup B = A$"这条常用结论。读题时先判两个集合有没有包含关系， 有的话运算立刻可以化简。

练习（第 20 页）第 1 题

1. 已知 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$, $A = \{2, 4, 5\}$, $B = \{1, 3, 5, 7\}$, 求 $A \cap (\complement_U B)$, $(\complement_U A) \cap (\complement_U B)$.

先把两个补集算出来：从 $U$ 里划掉自己那几个元素。

$\complement_U A = \{1, 3, 6, 7\}, \qquad \complement_U B = \{2, 4, 6\}.$

第一个所求：$A = \{2, 4, 5\}$ 与 $\complement_U B = \{2, 4, 6\}$ 取交，公共元素是 $2$ 与 $4$：

$A \cap (\complement_U B) = \{2, 4\}.$

第二个所求：$\complement_U A = \{1, 3, 6, 7\}$ 与 $\complement_U B = \{2, 4, 6\}$ 取交，只有 $6$：

$(\complement_U A) \cap (\complement_U B) = \{6\}.$

第二个结果也可以用德摩根律核一遍： $(\complement_U A) \cap (\complement_U B) = \complement_U (A \cup B)$，而 $A \cup B = \{1,2,3,4,5,7\}$， 它在 $U$ 里的补集正是 $\{6\}$，两条路一致。

练习（第 20 页）第 2 题

2. 设 $S = \{x \mid x \text{ 是平行四边形或梯形}\}$, $A = \{x \mid x \text{ 是平行四边形}\}$, $B = \{x \mid x \text{ 是菱形}\}$, $C = \{x \mid x \text{ 是矩形}\}$, 求 $B \cap C$, $\complement_A B$, $\complement_S A$.

这道题的三个所求各换了一次全集，正是”补集必须先说清全集是谁”的练习。

$B \cap C$：既是菱形又是矩形。菱形是四边相等的平行四边形，矩形是四角为直角的平行四边形， 两者兼得就是正方形：

$B \cap C = \{x \mid x \text{ 是正方形}\}.$

$\complement_A B$：全集取 $A$（平行四边形），从里面去掉菱形：

$\complement_A B = \{x \mid x \text{ 是平行四边形，但不是菱形}\}.$

$\complement_S A$：全集取 $S$（平行四边形或梯形），从里面去掉平行四边形，剩下梯形。 这里要用到”梯形只有一组对边平行、平行四边形两组对边分别平行”这一事实，所以两类不相交：

$\complement_S A = \{x \mid x \text{ 是梯形}\}.$

练习（第 20 页）第 3 题

3. 图中 $U$ 是全集，$A$，$B$ 是 $U$ 的两个子集，用阴影表示：

(1) $(\complement_U A) \cap (\complement_U B)$; (2) $(\complement_U A) \cup (\complement_U B)$.

课本要求在 Venn 图上涂阴影，这里把该涂的区域说清楚，并给出它化简后的形式——对着上方 第 20 页的扫描图看，两幅图各是一个大矩形 $U$ 里两个相交的圆 $A$、$B$。

两个圆把 $U$ 分成四块：只在 $A$ 里、只在 $B$ 里、$A \cap B$、两个圆之外。

(1) $(\complement_U A) \cap (\complement_U B)$ 要”既不在 $A$ 里、又不在 $B$ 里”， 所以阴影是两个圆之外的那一块。按德摩根律它等于

$(\complement_U A) \cap (\complement_U B) = \complement_U (A \cup B),$

读作”并集的补集”，与”两圆之外”说的是同一块。

(2) $(\complement_U A) \cup (\complement_U B)$ 要”不在 $A$ 里，或者不在 $B$ 里”。 四块里逐块判：只在 $A$ 里的点不在 $B$ 里，算；只在 $B$ 里的点不在 $A$ 里，算；两圆之外两条都满足，算； 唯一不算的是 $A \cap B$（它既在 $A$ 里又在 $B$ 里）。所以阴影是除 $A \cap B$ 以外的整个 $U$， 按德摩根律

$(\complement_U A) \cup (\complement_U B) = \complement_U (A \cap B).$

两小问放在一起正是德摩根律的图形版：“补号进括号，交并换个身”。

习题 1.3 第 1 题

1. 集合 $A = \{x \mid 2 \leqslant x < 4\}$, $B = \{x \mid 3x - 7 \geqslant 8 - 2x\}$, 求 $A \cup B$, $A \cap B$.

先解 $B$ 的描述法条件：

$3x - 7 \geqslant 8 - 2x \;\Longleftrightarrow\; 5x \geqslant 15 \;\Longleftrightarrow\; x \geqslant 3,$

所以 $B = \{x \mid x \geqslant 3\}$。

再画数轴：$A$ 是 $[2, 4)$（左端点取得到、右端点取不到），$B$ 是 $[3, +\infty)$。

并集取覆盖部分。$A$ 从 $2$ 起，$B$ 一直到正无穷，两段在 $[3,4)$ 上重叠、连成一片，所以

$A \cup B = \{x \mid x \geqslant 2\}.$

交集取重叠部分：左端取两者中较大的 $3$（$B$ 含 $3$，$A$ 也含 $3$，故取得到）， 右端取两者中较小的 $4$（$A$ 取不到 $4$），所以

$A \cap B = \{x \mid 3 \leqslant x < 4\}.$

端点回代核一遍：$x = 3$ 时 $2 \leqslant 3 < 4$ 成立、$3 \geqslant 3$ 成立，在交集里； $x = 4$ 时 $4 < 4$ 不成立，不在交集里。与上面写的一致。

习题 1.3 第 2 题

2. 设 $A = \{x \mid x \text{ 是小于 9 的正整数}\}$, $B = \{1, 2, 3\}$, $C = \{3, 4, 5, 6\}$. 求 $A \cap B$, $A \cap C$, $A \cap (B \cup C)$, $A \cup (B \cap C)$.

先把 $A$ 列举清楚：小于 $9$ 的正整数是 $1$ 到 $8$，注意”正整数”不含 $0$、“小于 $9$“不含 $9$，

$A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}.$

$B$、$C$ 的元素都在 $A$ 里，所以

$A \cap B = \{1, 2, 3\} = B, \qquad A \cap C = \{3, 4, 5, 6\} = C.$

括号里的先算：$B \cup C = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$（公共元素 $3$ 只写一次），它也整个落在 $A$ 里，

$A \cap (B \cup C) = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}.$

$B \cap C = \{3\}$，而 $3 \in A$，所以并上去加不进新元素：

$A \cup (B \cap C) = A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}.$

习题 1.3 第 3 题

3. 学校开运动会，设 $A = \{x \mid x \text{ 是参加} 100 \mathrm{~m}$ 跑的同学 $\}$，$B = \{x \mid x \text{ 是参加} 200 \mathrm{~m}$ 跑的同学 $\}$，$C = \{x \mid x \text{ 是参加} 400 \mathrm{~m}$ 跑的同学 $\}$，学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛，请你用集合的运算说明这项规定，并解释以下集合运算的含义：

(1) $A \cup B$; (2) $A \cap C$.

用集合运算表达那条规定。 “最多只能参加两项”就是”没有人三项都参加”，即三个集合的交集为空：

$A \cap B \cap C = \varnothing.$

(1) $A \cup B$ 是”参加 $100 \mathrm{~m}$ 跑或参加 $200 \mathrm{~m}$ 跑的同学”。 按”或”可兼，两项都参加的同学也在其中，只算一个人。

(2) $A \cap C$ 是”既参加 $100 \mathrm{~m}$ 跑又参加 $400 \mathrm{~m}$ 跑的同学”。 它不一定是空集——规定只禁止三项全参加，两项是允许的；由规定可知这些同学都没有参加 $200 \mathrm{~m}$ 跑。

习题 1.3 第 4 题

4. 已知集合 $A = \{x \mid 3 \leqslant x < 7\}$, $B = \{x \mid 2 < x < 10\}$, 求 $\complement_{\mathbb{R}}(A \cup B), \complement_{\mathbb{R}}(A \cap B), (\complement_{\mathbb{R}}A) \cap B, A \cup (\complement_{\mathbb{R}}B)$.

全集是 $\mathbb{R}$。先在数轴上摆好：$A = [3, 7)$，$B = (2, 10)$。$A$ 整个落在 $B$ 里面 （$3 > 2$ 且 $7 < 10$），所以

$A \cup B = \{x \mid 2 < x < 10\} = B, \qquad A \cap B = \{x \mid 3 \leqslant x < 7\} = A.$

第一个所求：$B$ 在 $\mathbb{R}$ 里的补集，把开区间的两个端点交还给补集，

$\complement_{\mathbb{R}}(A \cup B) = \{x \mid x \leqslant 2 \text{ 或 } x \geqslant 10\}.$

第二个所求：$A$ 在 $\mathbb{R}$ 里的补集。$A$ 含 $3$、不含 $7$，取补之后开闭正好互换：

$\complement_{\mathbb{R}}(A \cap B) = \{x \mid x < 3 \text{ 或 } x \geqslant 7\}.$

第三个所求：$\complement_{\mathbb{R}}A = \{x \mid x < 3 \text{ 或} x \geqslant 7\}$ 与 $B = (2, 10)$ 取交， 两段各交一次——$x < 3$ 与 $2 < x < 10$ 交出 $2 < x < 3$，$x \geqslant 7$ 与 $2 < x < 10$ 交出 $7 \leqslant x < 10$：

$(\complement_{\mathbb{R}}A) \cap B = \{x \mid 2 < x < 3 \text{ 或 } 7 \leqslant x < 10\}.$

第四个所求：$\complement_{\mathbb{R}}B = \{x \mid x \leqslant 2 \text{ 或 } x \geqslant 10\}$， 与 $A = [3, 7)$ 取并。三段互不相邻，只能并列写出：

$A \cup (\complement_{\mathbb{R}}B) = \{x \mid x \leqslant 2 \text{ 或 } 3 \leqslant x < 7 \text{ 或 } x \geqslant 10\}.$

这道题四个小问全在考端点的开闭：取补时端点归属互换（原来取得到的变成取不到）， 取交并时端点要逐个回代原条件核。

习题 1.3 第 5 题

5. 设集合 $A = \{x \mid (x - 3)(x - a) = 0, a \in \mathbf{R}\}$, $B = \{x \mid (x - 4)(x - 1) = 0\}$, 求 $A \cup B, A \cap B$.

$B$ 与参数无关：$B = \{1, 4\}$。$A$ 的元素是 $3$ 与 $a$，但集合的元素互异，所以要按 $a$ 分类。

情形一：$a = 3$。 此时 $(x-3)^2 = 0$ 只有一个根，$A = \{3\}$。$3 \notin B$，所以

$A \cup B = \{1, 3, 4\}, \qquad A \cap B = \varnothing.$

情形二：$a = 1$。 $A = \{1, 3\}$，与 $B$ 公共元素是 $1$：

$A \cup B = \{1, 3, 4\}, \qquad A \cap B = \{1\}.$

情形三：$a = 4$。 $A = \{3, 4\}$，与 $B$ 公共元素是 $4$：

$A \cup B = \{1, 3, 4\}, \qquad A \cap B = \{4\}.$

情形四：$a \in \mathbf{R}$ 且 $a \neq 1, 3, 4$。 $A = \{3, a\}$ 与 $B$ 无公共元素：

$A \cup B = \{1, 3, 4, a\}, \qquad A \cap B = \varnothing.$

四种情形缺一不可：$a = 3$ 决定 $A$ 有几个元素，$a = 1$ 与 $a = 4$ 决定交集是否非空。 只写第四种就是漏了三种，而只写第四种恰恰是这道题最常见的错法。

习题 1.3 第 6 题

6. 已知全集 $U = A \cup B = \{x \in \mathbf{N} \mid 0 \leqslant x \leqslant 10\}$, $A \cap (\complement_U B) = \{1, 3, 5, 7\}$, 试求集合 $B$.

先把全集列举清楚。$x \in \mathbf{N}$ 且 $0 \leqslant x \leqslant 10$，自然数含 $0$，所以

$U = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\},$

共 11 个元素。

关键一步是读懂 $A \cap (\complement_U B)$：它是”在 $A$ 里、又不在 $B$ 里”的元素，也就是只属于 $A$而不属于 $B$ 的那一部分。

再用条件 $U = A \cup B$：$U$ 里每一个元素至少属于 $A$、$B$ 之一。于是对任一 $x \in U$， 要么 $x \in B$，要么 $x \notin B$；而 $x \notin B$ 时由 $x \in A \cup B$ 得 $x \in A$， 于是 $x \in A \cap (\complement_U B)$。这说明

$\complement_U B = A \cap (\complement_U B) = \{1, 3, 5, 7\}.$

两边再取补：

$B = \complement_U(\complement_U B) = \complement_U\{1, 3, 5, 7\} = \{0, 2, 4, 6, 8, 9, 10\}.$

核一遍：取 $B = \{0,2,4,6,8,9,10\}$，则 $\complement_U B = \{1,3,5,7\}$；只要 $A \supseteq \{1,3,5,7\}$ 且 $A \cup B = U$（例如 $A = \{1,3,5,7\}$ 就够），题给的两个条件都成立，且 $A \cap (\complement_U B) = \{1,3,5,7\}$。 注意 $A$ 本身不唯一（$A$ 里可以再含 $B$ 的元素），但 $B$ 是唯一确定的——题目问的正是 $B$。

顺带说一句这道题为什么容易错：$U$ 漏掉 $0$。$\mathbf{N}$ 含 $0$ 是课本第 1.1 节定下的约定， 漏掉它答案就少一个元素。