浙江 2014 · 数学 q01

冷启动：两个 $\mathbf{N}$，一个都不能漏

题面短，但每个符号都在干活：

$$U=\{x\in\mathbf{N}\mid x\geq 2\},\qquad A=\{x\in\mathbf{N}\mid x^{2}\geq 5\},\qquad \text{求 }\complement_{U}A .$$

有两处专门用来绊人的地方，看清楚这道题就没有难度了：

1. 补集是在 $U$ 里取的，不是在 $\mathbf{N}$ 里取的。 $\complement_{U}A$ 的下标写着 $U$。 若顺手在 $\mathbf{N}$ 里取补，会把 $0$ 与 $1$ 也算进来——可它们根本不在 $U$ 里，不参与这场游戏。
2. 两个集合都限定 $x\in\mathbf{N}$，所以 $x$ 只能取整点。 $x^{2}\geq 5$ 解出来是 $x\geq\sqrt5\approx 2.236$，这个分界不是整数； 于是「大于等于 $2$ 且小于 $\sqrt5$」的自然数只有 $2$ 一个。

第 2 条是这道题真正的机关。 如果题目把 $5$ 换成 $4$，$A$ 就是 $x\geq 2$，补集立刻变成空集—— 同一套写法，答案换了个选项。所以这类题不能只盯着不等式的形状，必须把分界点和整点的相对位置摆出来看。

两条路的差别只在「要不要真的把集合求出来」：一条老老实实列举，一条一个集合也不求， 只拿选项里出现过的数逐个去验。

解法一：把两个集合都写成列举法，再取补

第一步：把 $A$ 的描述法化成列举法

$A=\{x\in\mathbf{N}\mid x^{2}\geq 5\}$。因为 $x\in\mathbf{N}$，有 $x\geq 0$， 于是 $x^{2}\geq 5\iff x\geq\sqrt5$（负根 $x\leq-\sqrt5$ 与 $x\in\mathbf{N}$ 不相容，直接丢掉）。

$\sqrt5\approx 2.236$，而 $x$ 是自然数，所以

$$x\geq\sqrt5\ \text{且}\ x\in\mathbf{N} \quad\Longleftrightarrow\quad x\geq 3 ,$$

即

$$A=\{3,4,5,6,\dots\} .$$

（验一下两端：$2^{2}=4<5$，所以 $2\notin A$；$3^{2}=9\geq 5$，所以 $3\in A$。）

第二步：把 $U$ 也列出来

$$U=\{x\in\mathbf{N}\mid x\geq 2\}=\{2,3,4,5,\dots\} .$$

第三步：在 $U$ 里取补

$\complement_{U}A$ 就是「在 $U$ 里、但不在 $A$ 里」的那些元素。 $U$ 从 $2$ 起，$A$ 从 $3$ 起，两者往后完全重合，差的只有开头那一个：

$$\complement_{U}A=U\setminus A=\{2\} .$$

写成描述法就是官方那一行：$\complement_{U}A=\{x\in\mathbf{N}\mid 2\leq x<\sqrt5\}=\{2\}$。 注意右端 $\sqrt5$ 处的不等号从 $\geq$ 翻成了 $<$——$A$ 含分界点那一侧，补集就不含。 （这道题里翻不翻其实不影响结果，因为 $\sqrt5$ 本来就不是自然数；但这个习惯必须有， 换成 $A=\{x\in\mathbf{N}\mid x^{2}\geq 4\}$ 时，$2$ 到底算不算进 $A$ 就直接决定答案。）

$$\boxed{\complement_{U}A=\{2\}\ \Rightarrow\ \text{选 B}}$$

解法二：一个集合也不求，只验选项里出现的那两个数

四个选项里一共只出现了两个数：$2$ 与 $5$。那就只验这两个。

$$\text{A. }\varnothing\qquad \text{B. }\{2\}\qquad \text{C. }\{5\}\qquad \text{D. }\{2,5\}$$

第一步：$2$ 在不在补集里

$2\in U$（因为 $2\geq 2$）。再看它在不在 $A$ 里：$2^{2}=4<5$，不在。 「在 $U$ 里、不在 $A$ 里」正是补集的定义，所以

$$2\in\complement_{U}A .$$

这一句同时干掉两个选项：补集非空，排除 A；补集含 $2$，而 C 不含 $2$，排除 C。

第二步：$5$ 在不在补集里

$5\in U$。看它在不在 $A$ 里：$5^{2}=25\geq 5$，在。既然 $5\in A$，它就不在补集里：

$$5\notin\complement_{U}A .$$

D 里含 $5$，排除 D。

四个选项去掉三个，只剩 $\text{B}$。

$$\boxed{\text{选 B}}$$

为什么这样算就够了

选择题的四个选项已经保证了「正确答案就在其中」。 只要能把另外三个各自否掉，剩下那个不必再验。 上面两步各否掉的理由都是一句话的事实：

• $2^{2}=4<5$（一次平方）；
• $5^{2}=25\geq 5$（一次平方）。

全程没有解过一次不等式，也没有碰过 $\sqrt5$。 这条路的代价是它只在选择题里有效——填空或解答题里，你还是得走解法一。

两条路怎么选

考场上这道题走解法二，十秒；但草稿上还是值得把解法一的那条数轴画出来—— 因为下一道同类题很可能把 $5$ 换成 $4$ 或 $9$，那时候「分界点落在哪两个整点之间」就是全部胜负手， 而那件事只有画出来才不会看错。

一句话带走

集合题里最容易被跳过的两个字是「$\in\mathbf{N}$」和补集下标里的那个 $U$。 前者把连续的不等式解集切成一串孤立的整点， 后者规定了「剩下的」是相对谁而言——两处任意一处读漏，答案就换一个选项。 读集合题的顺序应当是：先看在哪个数集里，再看在哪个全集里取补，最后才动手解不等式。