浙江 2018 · 数学 q01

冷启动：先把符号读顺

题面给了两个列举法集合：

问的是 $\complement_U A$（有的卷子印成 $C_U A$，同一个东西）。读作「$A$ 在 $U$ 中的补集」——在 $U$ 里、但不在 $A$ 里的那些元素。

下标 $U$ 不是装饰：补集永远是相对某个全集说的。本题的全集就是这五个数，不是 $\mathbf{R}$。

四个选项正好对应四种读法：空集、把 $A$ 原样端上来、真正的补集、把全集原样端上来。下面两条路，一条照定义把五个元素过一遍，一条先用个数把选项砍掉一半。

解法一：按定义逐个筛

怎么想到的。 元素只有五个，定义本身就是算法：对 $U$ 里每一个数问一句「它在 $A$ 里吗」，不在的留下。不需要公式，也不需要先想个数。

与选项 C 逐字相同。

自检两处。

• 前提：$A\subseteq U$。$A$ 的两个元素 $1$、$3$ 都在 $U$ 里，成立。这条不过，后面「个数相减」那条路就不能走。
• 代回定义念一遍：$2$、$4$、$5$ 都在 $U$ 里、都不在 $A$ 里；$1$ 和 $3$ 在 $A$ 里，确实该被挖掉。五个元素一个不漏、一个不多。

解法二：先数个数再对照选项

怎么想到的。 选择题可以先不问「是哪几个」，先问「该有几个」。补集的元素个数有一条现成公式：当 $A\subseteq U$ 时，

本题 $|U|=5$、$|A|=2$，所以补集必须恰好有 $3$ 个元素。四个选项的元素个数分别是 $0$、$2$、$3$、$5$——A、B 当场出局，只剩 C 和 D。

① 先验前提。 $A=\{1,3\}\subseteq U=\{1,2,3,4,5\}$，公式用得上。

② 砍掉个数不对的。

个数这一刀已经只剩 C。D 虽然也被砍掉了，但它的错法值得单独看一眼：有人把「补集」读成「全集」，把 $U$ 原样端上来。

③ 对留下的那一个代回定义。 $\{2,4,5\}$ 的三个元素都在 $U$ 里、都不在 $A$ 里，而且 $U$ 里再没有别的这种数。确认是 C。

这两条路差在哪。 解法一是照定义办事，五个元素过一遍就结束，谁都不会错。解法二是盯着选择题的选项结构：先用个数把四选一砍成二选一甚至一选一，再对留下的那一个做一次定义核对。$U$ 很大、选项的元素个数又分得很开时，解法二更快；本题 $U$ 只有五个，两条路一样短，差别只在于「先问是谁」还是「先问有几个」。

记一句话版本：$\complement_U A$ 就是从 $U$ 里挖掉 $A$。 挖完剩下的既不是空的，也不是 $A$，更不是 $U$。

本题四个选项恰好是四种读法的产物：

选项	它是什么	错在哪
A $\varnothing$	空集	把「补集」读成「$A$ 已经被挖空了，什么都不剩」
B $\{1,3\}$	$A$ 本身	漏看了补集符号——把 $\complement_U A$ 当成了 $A$
C $\{2,4,5\}$	$\complement_U A$	正确
D $\{1,2,3,4,5\}$	$U$ 本身	把补集做成了全集，没挖

对照选项，故选 C。