浙江 2023 · 数学 q01

冷启动：两个集合，一个列出来了、一个没列

这题给了两个集合。$M$ 用列举法，元素一个个摆在明面上：

$N$ 用描述法，只给了一条入会的条件，没把元素列出来：

求 $M\cap N$，就是问「$M$ 的这五个数里，哪几个同时也满足 $N$ 的条件」。

关键卡点是 $N$ 没把数摆出来。要么你先把 $N$ 解出来看清楚它是哪一片数，再去交；要么你干脆不管 $N$ 长什么样，拿 $M$ 的五个数逐个去试那条条件。这正是下面两条路。

解法一：解不等式化出 N 再求交

怎么想到的。 描述法 给的是「属性」，不是「名单」。要把 $N$ 和一个具体名单 $M$ 去交，最稳妥的是先把这条属性翻译成 $N$ 到底是哪些数——也就是把这条一元二次不等式解出来。

① 因式分解。 $x^{2}-x-6$ 找两个数，相乘是 $-6$、相加是 $-1$：是 $-3$ 和 $2$。于是

② 判符号。 两数相乘 $\ge 0$，要么都非负、要么都非正——落在两根 $-2$、$3$ 的外侧（二次项系数是正的，图象在两根之外才在 $x$ 轴上方）：

🕳️ 端点要取到：不等号是 $\ge$、含等号，所以 $x=-2$ 时左边 $=0$，满足条件，$-2\in N$。这一步正是本题的命门——$-2$ 既在 $M$ 里、又是 $N$ 的端点，端点漏取，答案就直接空了。

③ 求交。 $N$ 这两片数，去 $M=\{-2,-1,0,1,2\}$ 里挑：$-1,0,1,2$ 全落在两根之间（那里 $<0$，不属于 $N$），唯独 $-2$ 落在左片里。所以

解法二：逐元素代入验证

怎么想到的。 注意一个事实：$M$ 只有五个数，而我们要的也只是「这五个数里谁满足条件」。我们根本不需要知道 $N$ 的全部长相——$N$ 里除了 $-2$ 还有没有别的数，跟 $M\cap N$ 一点关系都没有。那就别解不等式了，把五个数一个一个塞进 $x^{2}-x-6$，看算出来是不是 $\ge 0$。

五个里只有 $-2$ 通过，于是 $M\cap N=\{-2\}$。

这两条路差在哪。 解法一是通用的：哪怕 $M$ 也是描述法、是无穷多个数，先各自解清楚再交照样行得通，画在数轴上就是上图那两片阴影与一串点的重叠。解法二是取巧的：它把「解不等式」这一步整个跳过去，只赌 $M$ 是有限几个数、逐个试得起——选择题里这种「有限候选 + 一条判定条件」的结构，逐一代入常常比解不等式更快、还不容易在端点上翻车。

🕳️ 避坑

• 端点别丢：$x=-2$ 让 $x^{2}-x-6=0$，而 $\ge 0$ 包含 $0$，所以 $-2$ 算数。若当成严格大于，$-2$ 被划掉，交集就成了空集。
• 区间方向别反：$\ge 0$ 取两根之外（$x\le-2$ 或 $x\ge3$）；两根之间恰恰是 $<0$、不属于 $N$。记反了（以为取两根之间），会把 $-1,0,1,2$ 一并误收，连同 $-2$ 得 $\{-2,-1,0,1,2\}$、五个全收，与正确的 $\{-2\}$ 差四个。

对照选项 A. $\{-2,-1,0,1\}$、B. $\{0,1,2\}$、C. $\{-2\}$、D. $\{2\}$，故选 C。