浙江 2009 · 数学 q01

冷启动：题目其实只问了两个点

题面一共三行字：

$$U=R,\qquad A=\{x\mid x>0\},\qquad B=\{x\mid x>1\},$$

问 $A\cap\complement_{U}B$ 是哪一个集合。先把三个符号各自说清楚：

• $U=R$：全集取全体实数。全集是本题讨论的范围，后面说「不属于」时，说的就是 「在 $R$ 里、但不在 $B$ 里」——离开了 $U$，「不属于」这句话没有边界，也就没有意义。
• $A$、$B$ 都是描述法：竖线左边写「元素长什么样」（这里就是一个实数 $x$）， 右边写它要满足的条件。所以 $A$ 是「全体正数」，$B$ 是「全体大于 $1$ 的数」。
• $\complement_{U}B$ 是 $B$ 的补集：$U$ 里不属于 $B$ 的那些数。
• $\cap$ 是交集：两边都属于的那些数。

四个选项摆在一起看，$0$ 与 $1$ 这两个数最值得盯——它们正是 $A$ 与 $B$ 的端点：

所以这道题真正要判的只有一句话：这两个端点各自到底进不进来。 （顺带说一句：$0$ 与 $1$ 并不能区分所有选项——(C) 与 (D) 在这两点上的归属完全一样， 都是「都不含」；它们彼此的差别在别处。但下面会看到，光凭这两点的归属就足以把三个错项全部刷掉。） 三条路都在回答那一句，只是入手的地方不同。

解法一：先把 $\complement_{U}B$ 解出来，再摆到数轴上取交

怎么想到的。 式子里有两个运算，而运算是从里往外做的：先补，再交。 补集这一步只牵涉 $B$ 一个集合，做完之后剩下的就是两段区间求交—— 这是最不用动脑子的顺序，也是考场上最稳的顺序。

① 先补。 $\complement_{U}B$ 是 $R$ 里不满足 $x>1$ 的数。一个实数要么大于 $1$， 要么不大于 $1$，二者必居其一，于是

$$\complement_{U}B=\{x\mid x\leqslant 1\}.$$

这里有一个几乎人人都会崴一下的地方：$B$ 在 $1$ 处是开的（$1>1$ 不成立， 所以 $1\notin B$），那么 $1$ 就落进了补集，$\complement_{U}B$ 在这一头是闭的。 端点的开闭在取补集时要翻个个儿——把它写成 $\{x\mid x<1\}$，最后的答案就会少掉 $1$ 这个点， 正好掉进选项 (A) 那个坑里。

② 再交。 把两段摆到同一条数轴上（图的上半就是这件事）：

• $A$ 覆盖 $0$ 右边的部分，$0$ 本身不覆盖；
• $\complement_{U}B$ 覆盖 $1$ 左边的部分，$1$ 本身覆盖。

两行都被覆盖的那一段，就是从 $0$ 到 $1$。

③ 两个端点各验一次。 图看形状、端点靠算——这是这套办法唯一不能偷懒的一步：

• $x=0$：$0>0$ 不成立，$0\notin A$，所以 $0$ 不在交集里 → 左端开。
• $x=1$：$1>0$ 成立，$1\in A$；$1\leqslant 1$ 成立，$1\in\complement_{U}B$。两边都在 → $1$ 在交集里 → 右端闭。

于是

$$A\cap\complement_{U}B=\{x\mid 0<x\leqslant 1\}=(0,1].$$

答案 B。

解法二：不求补集——把「属于」直接读成两句不等式的「且」

怎么想到的。 解法一为了取交，先把 $\complement_{U}B$ 单独写了出来。 可 $\complement_{U}B$ 本身并不是题目要的东西，它只是个中转站。如果盯住单个元素 问「$x$ 凭什么进得了这个集合」，中转站就用不上了：集合的三个运算，定义逐字就是三个逻辑词。

$x\in A\cap\complement_{U}B$ 这件事，按定义拆开是两句话同时成立：

$$x\in A\ \text{且}\ x\in\complement_{U}B \iff \underbrace{x>0}_{A\ \text{的条件}}\ \text{且}\ \underbrace{\text{非}(x>1)}_{\text{不属于}\ B}.$$

关键只有一步：$x>1$ 的否定是什么。 实数之间只有「大于」「等于」「小于」三种关系， 「不大于 $1$」把后两种都包了进来，所以

$$\text{非}(x>1)\iff x\leqslant 1 .$$

这里等号必须留下。写成 $x<1$ 是把「等于 $1$」这一种情形凭空丢掉了—— $1$ 既不大于 $1$、也不小于 $1$，它必须有个去处。

把两句合起来：

$$x>0\ \text{且}\ x\leqslant 1 \iff 0<x\leqslant 1 .$$

所以 $A\cap\complement_{U}B=\{x\mid 0<x\leqslant 1\}$，答案 B。

这条路省在哪。 全程没有画图，也没有写出 $\complement_{U}B$，两行就到头了。 它真正的用武之地是集合带参数的时候：若题目给的是 $B=\{x\mid x>a\}$， 数轴不知道 $a$ 该画在 $0$ 的哪一边，而条件合取照写不误，得 $\{x\mid 0<x\leqslant a\}$ （再按 $a$ 与 $0$ 的大小讨论空不空）。

一句提醒。 否定一段双边的区间时，「且」会变成「或」： $\text{非}(0<x<1)$ 是「$x\leqslant 0$ 或 $x\geqslant 1$」，不是一段而是两段。 本题的 $B$ 只有一边，所以没碰上这一条，但它是同一个动作里最容易漏的半边。

解法三：只用 $0$ 与 $1$ 两个端点筛选项

怎么想到的。 这是选择题，四个选项已经把候选答案摆在眼前了—— 那就不必造出答案，只需要认出它。而要否掉一个选项，只需要一个数在它与真答案里的 归属对不上。前面已经看出 $0$ 与 $1$ 是全场最敏感的两个数，那就先拿它们试： 每个数只要代两次不等式，代价极小；试完发现三个错项恰好各被其中一个逮住。

先把这两个数的归属算清楚（各代一次原条件，两行而已）：

再拿它们刷选项——要否掉一个选项，只需要一个数在两边的归属对不上：

• $x=0$ 刷掉 (A)。 $[0,1)$ 含 $0$，而答案不该含 $0$。
• $x=1$ 刷掉 (C) 与 (D)。 $1$ 该在答案里，而 $(-\infty,0)$ 里没有 $1$、$(1,+\infty)$ 里也没有 $1$ （$1>1$ 不成立，它恰好卡在 (D) 的门外）。
• 剩下 (B)。

答案 B。

这条路的价值与它的边界。 它把一道「求集合」的题，变成了两次「这个数在不在里面」的判断—— 而后者是纯代入，不会算错。考场上如果对补集的端点没把握，这是最快的自我校验： 先别管整段区间，先把可疑的那一两个点钉死。

但要看清它靠的是什么：整条推理挂在「四个选项里恰有一个对」这个题型格式上。 上面三条刷完只剩 (B)，我们并没有正面验证过 $(0,1]$ 里每一个数都在 $A\cap\complement_{U}B$ 里—— 万一出题人把四个选项全印错了，这条路会给出错的答案而不自知。所以它只在选择题里算数； 同样的问题若出成填空或解答题，还得回到解法一或解法二把那一段真正算出来。