浙江 2019 · 数学 q01

冷启动：先把符号读顺，再定运算顺序

题面给了三个集合，都是列举法写的——元素一个个摆在花括号里，看得见摸得着：

$$U=\{-1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3\},\qquad A=\{0,\ 1,\ 2\},\qquad B=\{-1,\ 0,\ 1\}$$

所求是 $\left(C_{\mathrm{U}}A\right)\cap B$。这个记号里有两处要先读明白：

• $C_{\mathrm{U}}A$ 就是 $\complement_U A$（不同教材印法不同，人教A版写作 $\complement_U A$）， 读作「$A$ 在 $U$ 中的补集」——在 $U$ 里但不在 $A$ 里的那些元素。 这里的下标 $U$ 不是装饰：补集永远是相对于某个全集说的，换一个全集，同一个 $A$ 的补集就不同。
• 括号定顺序：先算括号里的补集，再拿结果和 $B$ 取交集。

关键卡点只有一个：别把两步压成一步压错了。三个错法各对应一个干扰项—— 漏掉补集（直接算 $A\cap B$）、把补集套在整体外面（算 $\complement_U(A\cap B)$）、 把交集写成并集。下面两条路，一条老老实实分两步，一条把两步合成一次筛选， 但合的方式与那三个错法都不同。

解法一：按定义两步走——先补集，再交集

怎么想到的。 元素只有五个，定义本身就是最快的算法：补集是「在 $U$ 里、不在 $A$ 里」， 交集是「两边都在」。两句话都是逐个元素能判的，所以照着定义把 $U$ 的五个元素过一遍就行， 不需要任何技巧。

① 求 $\complement_U A$：拿 $U$ 的每个元素问一句「在 $A$ 里吗」。

$$\complement_U A=\{-1,\ 3\}$$

② 再与 $B$ 取交集：拿 $\complement_U A$ 的两个元素问一句「在 $B$ 里吗」。

只有 $-1$ 两边都在，所以

$$\left(\complement_U A\right)\cap B=\{-1\}$$

与选项 A 逐字相同。

自检两处。

• 数一数个数：$U$ 有 $5$ 个元素、$A$ 有 $3$ 个，所以 $\complement_U A$ 必须恰好有 $5-3=2$ 个 ——算出来的 $\{-1,3\}$ 正是 $2$ 个。这一步能当场抓住「补集漏了一个元素」这类错。 （$A\subseteq U$ 是这条计数式成立的前提，本题 $A$ 的三个元素 $0,1,2$ 都在 $U$ 里 ✓。）
• 把答案代回定义念一遍：$-1$ 在 $U$ 里 ✓、不在 $A$ 里 ✓、在 $B$ 里 ✓——三条都对。 再随便挑一个落选的验反面：$0$ 在 $B$ 里，但它也在 $A$ 里，所以进不了 $\complement_U A$， 确实该被排除。

解法二：一步筛——把 $(\complement_U A)\cap B$ 读成「从 $B$ 里删掉 $A$ 的元素」

怎么想到的。 解法一算出的 $\complement_U A=\{-1,3\}$ 里，那个 $3$ 白算了——它根本不在 $B$ 里， 下一步就被扔掉。既然最后的答案一定是 $B$ 的子集，那能不能从头就只在 $B$ 里面挑？ 把定义摊开来看，正好可以：

$$x\in\left(\complement_U A\right)\cap B \iff \underbrace{(x\in U\ \text{且}\ x\notin A)}_{x\in\,\complement_U A}\ \text{且}\ x\in B .$$

① 把多余的条件消掉。 本题 $B=\{-1,0,1\}$ 的三个元素都在 $U=\{-1,0,1,2,3\}$ 里， 即 $B$ 是 $U$ 的子集：$B\subseteq U$。于是「$x\in B$」这一条已经蕴含「$x\in U$」， 后者可以删掉，条件退化成两句：

$$\left(\complement_U A\right)\cap B=\{x\mid x\in B\ \text{且}\ x\notin A\} .$$

这就是「从 $B$ 里删掉那些同时属于 $A$ 的元素」。

② 只对 $B$ 的三个元素筛一遍。

$$\left(\complement_U A\right)\cap B=\{-1\}$$

与解法一结果一致，仍是选项 A。

③ 前提要交代清楚。 第 ① 步删掉「$x\in U$」，用的是 $B\subseteq U$。 这一条不是白给的：若 $B$ 里有 $U$ 之外的元素（比如题目给成 $B=\{-1,0,1,7\}$ 而 $7\notin U$）， 那么 $7$ 满足「在 $B$ 里且不在 $A$ 里」，却因为不在 $U$ 里而进不了 $\complement_U A$， 一步筛就会多算一个。本题四个集合关系干净，先验一眼即可放心用。

这两条路差在哪。 解法一是照定义办事，谁都不会错，代价是要把 $\complement_U A$ 整个写出来——本题 $U$ 只有 $5$ 个元素，写出来才 $2$ 个，无所谓；但若 $U$ 有 $100$ 个元素、 $A$ 有 $3$ 个，解法一得先列出 $97$ 个数，而 $B$ 也许只有 $3$ 个元素。 解法二是盯着终点算：答案必是 $B$ 的子集，那就只在 $B$ 里筛，筛几次由 $B$ 的大小决定， 与 $U$ 多大无关。所以选择题里 $U$ 一大就该换解法二；代价是多验一句 $B\subseteq U$。

记一句话版本：$(\complement_U A)\cap B$ 就是「$B$ 减 $A$」（前提 $B\subseteq U$）。

🕳️ 避坑

本题四个选项恰好是四种读法的产物，把它们摆在一起，错在哪一眼就清楚了：

选项	它是什么	错在哪
A $\{-1\}$	$\left(\complement_U A\right)\cap B$	正确
B $\{0,1\}$	$A\cap B$	漏了补集——把 $C_{\mathrm{U}}A$ 直接当成了 $A$
C $\{-1,2,3\}$	$\complement_U(A\cap B)$	补集套错位置——先交后补，而题目是先补后交
D $\{-1,0,1,3\}$	$\left(\complement_U A\right)\cup B$	把交集写成并集

• 补集必须挂在某个全集上。 本题的全集是列举出来的 $U$，不是 $\mathbf{R}$。 若误用实数集当全集，$\complement A$ 里会混进 $U$ 之外的一大堆数，$3$ 之外还有 $-2$、$0.5$…… 题面把 $U$ 写在最前面，就是在钉这个参照系。
• 交集只会变小，并集只会变大。 判据是方向：$\left(\complement_U A\right)\cap B\subseteq B$， 算出来的东西必须装在 $B=\{-1,0,1\}$ 里面。选项 D 含 $3$，而 $3\notin B$， 一眼就该被排除——这一条不用重算就能把 D 打掉。
• 先补后交与先交后补不一样。 一般地 $\complement_U(A\cap B)=\left(\complement_U A\right)\cup \left(\complement_U B\right)$（补集把交换成并），所以把补集从括号里挪到括号外， 连运算符号都要跟着换——这正是选项 C 与 A 的差距。

对照选项 A. $\{-1\}$、B. $\{0,1\}$、C. $\{-1,2,3\}$、D. $\{-1,0,1,3\}$，故选 A。